Mortalité, longévité et tarification d’une rente temporaire

Projet académique réalisé en équipe à ESPRIT. Nous étudions une rente temporaire payable tant que l’assuré est en vie, souscrite en 2015 par une cohorte née en 1955 en Angleterre et au Pays de Galles. L’analyse relie projection stochastique de la mortalité, probabilités de survie et valeur actuelle probable (VAP), puis mesure la sensibilité du tarif au modèle, au taux d’actualisation et à la composition du portefeuille.

Question actuarielle

Le portefeuille considéré est composé de 60 % de femmes et de 40 % d’hommes. Les assurés ont 60 ans au début du contrat et les prestations peuvent être versées entre 2015 et 2045.

L’analyse cherche à répondre à quatre questions :

• comment projeter la mortalité de la cohorte jusqu’à 90 ans ;
• quel modèle produit les projections hors échantillon les plus robustes ;
• comment convertir ces projections en VAP d’une rente ;
• comment le taux d’actualisation et la composition femmes-hommes modifient-ils le tarif unisexe ?

Méthode

1. Extraction des décès, expositions et taux de mortalité de la Human Mortality Database pour l’Angleterre et le Pays de Galles (GBRTENW).
2. Estimation des taux par maximum de vraisemblance et construction d’intervalles de confiance.
3. Suivi longitudinal de la cohorte 1955 avec extractCohort.
4. Ajustement et projection de trois modèles StMoMo : Lee–Carter, Age–Period–Cohort et Cairns–Blake–Dowd.
5. Validation temporelle : apprentissage sur 1960–2015 et évaluation sur 2016–2022 avec la RMSE et la MAE des log-taux.
6. Conversion des taux centraux en probabilités annuelles de décès, puis calcul de la VAP.
7. Analyses de sensibilité au taux d’actualisation et à la composition du portefeuille.

Le modèle de référence Lee–Carter décompose la surface de mortalité selon :

$$ \log \mu_{x,t}=a_x+b_x k_t+\varepsilon_{x,t}. $$

Pour une rente temporaire annuelle à termes anticipés :

$$ \mathrm{VAP}(i)=R\sum_{k=0}^{n-1}(1+i)^{-k},{}_{k}p_x. $$

Résultats de l’exécution documentée

• Lee–Carter obtient la plus faible RMSE hors échantillon sur les log-taux : 0,0832, contre 0,1017 pour APC et 0,1216 pour CBD.
• Avec un taux d’actualisation de 2 %, la VAP unitaire est de 19,50 pour les femmes et 18,17 pour les hommes ; la pondération du portefeuille 60/40 donne 18,96.
• Une hausse du taux d’actualisation diminue la VAP, avec un effet plus marqué pour les paiements éloignés.
• La prime calculée sur la population totale HMD diffère du coût du portefeuille réel : la composition femmes-hommes doit donc être explicitée.

Ces valeurs appartiennent à ce jeu de données, à cette période de validation et aux hypothèses du projet ; elles ne constituent pas un tarif directement transposable à un autre portefeuille.

Ma contribution — Amine Manai

• Questions 1 et 2 : récupération et préparation des données HMD pour GBRTENW.
• Estimation des taux de mortalité par maximum de vraisemblance et construction des intervalles de confiance.
• Participation à la vérification finale du rapport, des graphiques et de la présentation.

Les autres volets ont été répartis entre les membres du groupe ; le détail figure dans le rapport.

Livrables

• Rapport actuariel complet — PDF
• Rapport interactif — HTML
• Code source — R Markdown
• Présentation de synthèse — PDF
• Tableau de bord statique
• Calculateur interactif

Reproduire l’analyse

Prérequis

• R 4.5 ou une version compatible ;
• packages demography, StMoMo, rmarkdown et knitr ;
• Pandoc, Quarto ou RStudio ;
• un compte autorisé sur la Human Mortality Database.

install.packages(c("demography", "StMoMo", "rmarkdown", "knitr"))

Les identifiants HMD ne sont jamais enregistrés dans le dépôt. Fournissez-les par variables d’environnement, puis lancez le script depuis la racine du dépôt :

$env:HMD_USERNAME = "votre_identifiant"
$env:HMD_PASSWORD = "votre_mot_de_passe"
.\Rapport\render_rapport.ps1

Le script recherche automatiquement une installation de R contenant les packages requis et une installation locale de Pandoc. Pour ne générer qu’un format :

.\Rapport\render_rapport.ps1 -Format html
.\Rapport\render_rapport.ps1 -Format pdf

Structure

.
├── Rapport/       # analyse R Markdown, bibliographie et livrables
├── Presentation/  # présentation LaTeX et graphiques
├── Site/          # tableau de bord statique
├── machine.html   # calculateur interactif
└── README.md

Limites

• Les résultats portent sur une cohorte et une population nationales précises.
• Les trajectoires futures restent sensibles aux ruptures de tendance.
• Le portefeuille n’intègre ni sélection médicale, ni hétérogénéité socioéconomique, ni dynamique de sortie.
• Le taux d’actualisation est traité par scénarios déterministes, sans modèle actif-passif complet.
• La comparaison unisexe illustre un transfert actuariel interne ; elle ne constitue pas une analyse juridique ou commerciale du produit.

Données, auteurs et réutilisation

Projet réalisé par Amine Manai, Maha Aloui, Nassir Bouzaiene et Yasmine Attyaoui. Les fichiers bruts HMD ne sont pas redistribués ; les utilisateurs doivent télécharger une copie à jour et respecter les conditions de la Human Mortality Database.

Aucune licence open source n’est attachée à ce dépôt collectif. Contactez les auteurs avant de réutiliser ou redistribuer le code ou les documents.