西方经济学公式总览.md

西方经济学公式总览

这份文件把西方经济学中的核心公式按章节集中整理，目标不是替代正文，而是方便你快速查：

• 这章常用哪些公式
• 每个公式在说明什么问题
• 这些公式之间如何衔接
• 常见题目到底该套哪一个公式

第 1 章 需求与供给

需求与供给的基本表示

$$Q_d = Q_d(P)$$

需求量是价格的函数。

$$Q_s = Q_s(P)$$

供给量是价格的函数。

市场均衡

$$Q_d(P^_) = Q_s(P^_)$$

均衡价格与均衡数量由需求等于供给决定。

需求价格弹性

$$E_d=-\frac{dQ}{dP}\cdot\frac{P}{Q}$$

衡量价格变化 1% 时，需求量变化多少。

交叉价格弹性

$$E_{XY}=\frac{\Delta Q_X/\Delta Q_X}{\Delta P_Y/P_Y}=\frac{\Delta Q_X}{\Delta P_Y}\cdot\frac{P_Y}{Q_X}$$

$$E_{XY}=\frac{dQ_X}{dP_Y}\cdot\frac{P_Y}{Q_X}$$

衡量商品 $Y$ 的价格变化对商品 $X$ 需求的影响。

常见题型

• 已知需求函数，求某一点的点弹性。
• 已知两种商品价格变化，判断替代品、互补品还是无关品。
• 已知需求和供给函数，联立求均衡价格与均衡数量。
• 已知弹性大小，判断提价还是降价会使总收益增加。

推导来源

• 均衡公式来自“市场出清条件”，即需求量等于供给量。
• 点弹性公式来自“需求量变化率与价格变化率之比”。
• 交叉弹性公式来自“某商品需求对另一商品价格变化的敏感度”。

易错点

• 点弹性和弧弹性不要混用。
• 需求价格弹性通常写负号，是因为价格和需求量通常反向变化。
• 计算总收益变化时，先判断需求是富有弹性还是缺乏弹性，再决定提价还是降价。

第 2 章 效用论

边际效用

$$MU=\frac{\Delta TU}{\Delta Q}$$

增加一单位消费所增加的总效用。

基数效用论下的消费者均衡

$$ \begin{cases} \frac{MU_1}{P_1}=\frac{MU_2}{P_2}=\cdots=\frac{MU_n}{P_n}=\lambda \\ P_1X_1+\cdots+P_nX_n=m \end{cases} $$

每单位货币支出的边际效用相等，并满足预算约束。

预算约束

$$P_1X_1+P_2X_2=I$$

无差异曲线

$$U=f(X_1,X_2)=U_0$$

边际替代率

$$MRS_{1,2}=-\frac{\Delta X_2}{\Delta X_1}$$

$$MRS_{1,2}=\lim_{\Delta X_1 \to 0}-\frac{\Delta X_2}{\Delta X_1}=-\frac{dX_2}{dX_1}$$

常见题型

• 已知效用函数和预算约束，求消费者最优消费组合。
• 解释为什么需求曲线向右下倾斜。
• 判断正常品、低档品、吉芬品，并分析替代效应和收入效应。
• 用无差异曲线和预算线说明均衡条件。

推导来源

• 基数效用论的均衡条件来自“单位货币最后带来的边际效用必须相等”。
• 序数效用论的最优点来自“预算线与无差异曲线相切”。
• 边际替代率来自“在效用不变下，两种商品之间的替代关系”。

易错点

• 不要把 $MU/P$ 相等和 $MU$ 相等混为一谈。
• 无差异曲线斜率是负的，$MRS$ 通常取其绝对值来表示替代强度。
• 吉芬品不是一般低档品，而是“负收入效应大于替代效应”的特殊情形。

第 3 章 生产和成本论

生产函数

$$Q=f(L,K)$$

边际产量

$$MP=\frac{\Delta Q}{\Delta L}$$

$$MP_L=\frac{dQ}{dL}$$

$$MP_K=\frac{dQ}{dK}$$

边际技术替代率

$$MRTS_{LK}=-\frac{\Delta K}{\Delta L}$$

$$MRTS_{LK}=-\frac{dK}{dL}$$

等成本方程

$$C=r_LL+r_KK$$

成本最小化或既定成本下产量最大化

$$ \begin{cases} MRTS_{LK}=\frac{r_L}{r_K} \\ r_LL+r_KK=C \end{cases} $$

或写为

$$ \begin{cases} \frac{MP_L}{r_L}=\frac{MP_K}{r_K} \\ r_LL+r_KK=C \end{cases} $$

既定产量下成本最小化

$$ \begin{cases} MRTS_{LK}=\frac{r_L}{r_K} \\ f(L,K)=y \end{cases} $$

边际成本

$$MC(Q)=\frac{\Delta TC(Q)}{\Delta Q}$$

$$MC(Q)=\lim_{\Delta Q \to 0}\frac{\Delta TC(Q)}{\Delta Q}=\frac{dTC}{dQ}$$

边际成本与边际产量的关系

$$MC=\frac{dTC}{dQ}=W\cdot\frac{dL}{dQ}=\frac{W}{MP_L}=\frac{r_L}{MP_L}$$

厂商利润

$$\pi=TR-TC=PQ-TC$$

厂商对要素使用的一阶条件

$$P\cdot MP_L-r_L=0$$

$$P\cdot MP_K-r_K=0$$

进一步得到

$$\frac{r_L}{MP_L}=\frac{r_K}{MP_K}$$

常见题型

• 已知生产函数，求边际产量、平均产量和合理投入区间。
• 已知生产函数和要素价格，求最优要素组合。
• 已知总成本函数，求平均成本和边际成本。
• 证明边际成本与边际产量反向变动。
• 判断规模收益递增、递减还是不变。

推导来源

• 边际产量来自生产函数对要素投入的导数。
• 成本最小化条件来自等产量曲线与等成本线相切。
• 边际成本来自总成本函数对产量的导数。
• $MC=\frac{r_L}{MP_L}$ 来自链式法则，把成本变化和产量变化联系起来。

易错点

• $MRTS$ 是技术替代关系，不是价格比本身；最优时二者才相等。
• 不要把规模收益和规模经济直接混同，前者讨论产量与要素同比例变化，后者讨论成本。
• 合理投入区间通常是生产的第 II 阶段，不是边际产量为负的阶段。

第 4 章 市场理论

总收益、平均收益、边际收益

$$TR=p(y)\cdot y$$

$$AR=\frac{TR}{y}=p(y)$$

$$MR=\frac{\Delta TR}{\Delta y}$$

厂商利润最大化原则

$$MR=MC$$

垄断厂商的常见推导

若

$$Q=50-3P$$

则反需求函数为

$$P=\frac{50}{3}-\frac{Q}{3}$$

总收益函数为

$$TR=PQ=\frac{50Q}{3}-\frac{Q^2}{3}$$

边际收益函数为

$$MR=\frac{dTR}{dQ}=\frac{50}{3}-\frac{2Q}{3}$$

若 $MC=4$，则最优条件为

$$\frac{50}{3}-\frac{2Q}{3}=4$$

常见题型

• 已知需求函数，推反需求函数、总收益函数和边际收益函数。
• 已知边际成本，利用 $MR=MC$ 求垄断最优产量与价格。
• 解释完全竞争、垄断竞争、寡头和垄断的均衡条件差异。
• 根据反应函数解释古诺均衡和纳什均衡。

推导来源

• 总收益由“价格乘数量”得到。
• 边际收益由总收益函数对产量求导得到。
• 厂商最优来自利润函数 $\pi(Q)=TR(Q)-TC(Q)$ 的一阶条件。

易错点

• 垄断下通常是先由 $MR=MC$ 求产量，再回代需求函数求价格。
• 完全竞争下 $MR=P$，但垄断和垄断竞争下通常 $MR<P$。
• 古诺模型的决策变量是产量，不是价格。

第 5 章 生产要素市场

边际产品价值

$$VMP=P\cdot MP$$

边际收益产品

$$MRP=MR\cdot MP$$

要素使用的利润最大化原则

$$MRP=MFC$$

在完全竞争产品市场与要素市场中，可写为

$$VMP=P\times MP=r$$

欧拉定理

$$Q=L\cdot\frac{\partial Q}{\partial L}+K\cdot\frac{\partial Q}{\partial K}$$

或写为

$$Q=K\cdot MP_K+L\cdot MP_L$$

利润最大化的证明式

$$\frac{d\pi}{dL}=\frac{dTR}{dL}-\frac{dTC}{dL}$$

$$\frac{dTR}{dL}=\frac{dTR}{dQ}\cdot\frac{dQ}{dL}=MR\cdot MPP=MRP$$

常见题型

• 解释为什么厂商对要素的需求是引致需求。
• 已知产品价格与边际产量，求边际产品价值。
• 证明厂商使用要素的利润最大化原则 $MRP=MFC$。
• 用收入效应和替代效应解释劳动供给曲线为什么向后弯曲。

推导来源

• 要素需求来自产品需求，所以称为引致需求。
• $VMP=P\cdot MP$ 来自“边际产量乘产品价格”。
• $MRP=MFC$ 来自利润对要素投入求导的一阶条件。

易错点

• 完全竞争产品市场中 $MR=P$，所以 $MRP=VMP$；不完全竞争下二者不同。
• 买方垄断要素市场中，$MFC$ 通常高于要素价格。
• 劳动供给向后弯曲是高工资区间的结论，不是所有工资水平都向后弯。

第 6 章 一般均衡论和福利经济学

瓦尔拉斯定律

$$\sum_{i=1}^{k+r}p_i x_i=\sum_{i=1}^{k+r}p_i y_i$$

边际转换率

$$MRT=\lim_{\Delta X \to 0}\left|\frac{\Delta Y}{\Delta X}\right|=\left|\frac{dY}{dX}\right|$$

产品市场与要素市场的一般均衡表示

$$x_i=x_i(p_1,\cdots,p_k,p_{k+1},\cdots,p_{k+r})$$

$$y_i=y_i(p_1,\cdots,p_k,p_{k+1},\cdots,p_{k+r})$$

$$x_i=y_i \qquad (i=1,\cdots,k)$$

$$x_j=x_j(p_1,\cdots,p_k;p_{k+1},\cdots,p_{k+r})$$

$$y_j=y_j(p_1,\cdots,p_k;p_{k+1},\cdots,p_{k+r})$$

$$x_j=y_j \qquad (j=k+1,\cdots,k+r)$$

埃奇沃斯框图中的总禀赋

$$w_1=w_{11}+w_{21}$$

$$w_2=w_{12}+w_{22}$$

纯交换达到帕累托最优的条件

$$MRS_{XY}^A=MRS_{XY}^B$$

生产达到帕累托最优的条件

$$MRTS_{LK}^X=MRTS_{LK}^Y$$

交换和生产同时最优的条件

$$MRS_{XY}=MRT_{XY}$$

常见题型

• 解释瓦尔拉斯定律的含义。
• 判断某种配置是否满足帕累托最优。
• 说明交换最优、生产最优和交换生产同时最优的条件。
• 用埃奇沃斯框图说明一般均衡。

推导来源

• 一般均衡来自“所有市场同时出清”。
• 帕累托条件来自“若边际替代关系不一致，就仍有改进空间”。
• 瓦尔拉斯定律来自“总支出恒等于总收入”的总量恒等关系。

易错点

• 瓦尔拉斯定律说明的是独立方程个数受限制，不等于自动完成全部价格求解。
• $MRS$、$MRTS$、$MRT$ 分别对应消费、生产、产品转换，不要混记。

第 8 章 宏观经济活动与宏观经济学

失业率

$$失业率=\frac{失业人数}{劳动力总数}\times 100%$$

名义国民收入与实际国民收入

$$实际国民收入=名义国民收入 \div 价格折算指数$$

常见题型

• 计算失业率。
• 区分名义变量与实际变量。
• 解释价格折算指数与实际国民收入之间的关系。

第 9 章 简单国民收入决定理论

消费函数

$$C=C(Y)$$

或线性形式

$$C=\alpha+\beta Y_d$$

边际消费倾向

$$MPC=\frac{\Delta C}{\Delta Y}$$

储蓄函数

$$S=Y-C$$

边际储蓄倾向

$$MPS=\frac{\Delta S}{\Delta Y}$$

两部门经济均衡

$$Y=C+I$$

$$Y=C+S$$

$$I=S$$

投资乘数

$$\Delta Y=\frac{\Delta I}{1-\beta}$$

三部门经济均衡

$$C=\alpha+\beta(Y-T_0)$$

$$C+I+G=\alpha+\beta(Y-T_0)+I_0+G_0=Y$$

$$Y=\frac{\alpha-\beta T_0+I_0+G_0}{1-\beta}$$

平衡预算乘数

$$\Delta Y=\frac{\Delta G}{1-\beta}-\frac{\beta\Delta T}{1-\beta}=\Delta G ; (= \Delta T)$$

常见题型

• 已知消费函数和投资，求均衡收入与均衡储蓄。
• 已知边际消费倾向，求投资乘数或政府支出乘数。
• 加入政府后，求税收变动、政府支出变动对均衡收入的影响。
• 比较投资乘数、税收乘数和平衡预算乘数。

推导来源

• 两部门均衡来自 $AE=Y$，再写成 $C+I=C+S$，从而得到 $I=S$。
• 乘数公式来自把消费函数代入均衡式后求外生支出变化对收入的影响。
• 三部门公式来自把政府购买和税收加入总支出与可支配收入。

易错点

• $MPC+MPS=1$ 是在收入增量分为消费和储蓄时成立。
• 税收乘数通常带负号。
• 平衡预算乘数等于 1，不代表财政政策没有作用，而是表示收入增量等于政府支出增量。

第 10 章 产品市场和货币市场的一般均衡

资本边际效率

$$R_0=\frac{R_1}{1+r_c}+\frac{R_2}{(1+r_c)^2}+\cdots+\frac{R_n}{(1+r_c)^n}$$

投资函数

$$I=I(r)$$

货币需求函数

$$L=L_1(Y)+L_2(r)$$

货币市场均衡

$$L_1(Y)+L_2(r)=m$$

IS 曲线

$$S(Y)=I(r)$$

LM 曲线

$$L_1(Y)+L_2(r)=m$$

例：由消费函数得到储蓄函数

$$S=Y-C=-100+0.4Y$$

例：IS 曲线推导

$$-100+0.4Y=520-r$$

$$Y=1550-2.5r$$

例：LM 曲线推导

$$0.2Y-4r=120$$

$$Y=600+20r$$

IS-LM 联立

$$ \begin{cases} Y=1550-2.5r \\ Y=600+20r \end{cases} $$

常见题型

• 已知消费、投资、货币需求和货币供给函数，推导 IS 曲线和 LM 曲线。
• 联立 IS-LM 求均衡收入和均衡利率。
• 比较自主投资变化、货币供给变化对均衡的影响。
• 解释为什么 IS-LM 中的收入变化通常不同于简单乘数模型。

推导来源

• IS 曲线来自产品市场均衡 $S(Y)=I(r)$。
• LM 曲线来自货币市场均衡 $L(Y,r)=m$。
• 总均衡来自产品市场和货币市场同时出清。

易错点

• 先由消费函数推出储蓄函数，再写 IS，不要直接跳步。
• LM 中的货币供给若写成实际货币供给，应注意是否为 $M/P$。
• 简单乘数模型没有考虑利率反馈，IS-LM 则考虑了货币市场约束。

第 11 章 宏观经济政策

货币创造乘数

$$\Delta M=\frac{\Delta D}{r_d}$$

派生存款扩张

$$100+100(1-10%)+100(1-10%)^2+\cdots =1000$$

派生存款倍数

$$派生存款=原始存款\times \frac{1}{存款准备率}$$

常见题型

• 已知原始存款和准备金率，求货币创造倍数。
• 解释准备金率、再贴现率、公开市场业务如何影响货币供给。
• 说明财政政策和货币政策的作用机制。

第 12 章 总需求和总供给分析

从 IS-LM 推导总需求

$$ \begin{cases} I(r)=S(Y) \\ L_1(Y)+L_2(r)=\frac{M}{P} \end{cases} $$

例：总需求函数推导

$$ \begin{cases} 2200-100r=Y-800-0.8Y \\ 0.5Y-250r=\frac{600}{P} \end{cases} $$

$$2Y-15000=\frac{1200}{P}$$

$$Y=7500+\frac{600}{P}$$

常见题型

• 从 IS-LM 模型推导总需求曲线。
• 说明短期总供给与长期总供给的区别。
• 分析价格水平变化如何影响总需求与总供给。

推导来源

• AD 曲线来自价格水平变化引起实际货币供给变化，再通过 IS-LM 影响均衡收入。
• 短期 AS 来自货币工资刚性下，价格变化影响实际工资和就业。
• 长期 AS 来自工资完全伸缩、经济回到充分就业。

易错点

• 推 AD 时不能把名义货币供给 $M$ 和实际货币供给 $M/P$ 混在一起。
• 长期总供给垂直，不表示产出永远不变，而是表示长期均衡产出由潜在产出决定。

第 13 章 经济增长

哈罗德-多马模型

$$G=\frac{s}{v}$$

有保证的增长率

$$G_w=\frac{S_d}{v_r}$$

新古典增长模型

$$sf(k)=\dot{k}+nk$$

教材中写成

$$sf(k)=k+nk$$

表示人均储蓄分为资本深化和资本广化两部分。

稳态条件

$$sf(k)=nk$$

黄金律条件

$$f'(k)=n$$

哈罗德-多马的稳定增长条件

$$G_A=G_W=G_N$$

常见题型

• 已知储蓄率和资本产出比，求哈罗德-多马增长率。
• 用索洛模型说明稳态条件和人口增长的影响。
• 解释黄金律条件对应的经济含义。

推导来源

• 哈罗德-多马增长率来自“储蓄转化为投资、投资推动产出增长”。
• 索洛稳态来自“人均储蓄恰好弥补资本广化”。
• 黄金律来自“使人均消费最大化”的最优资本存量条件。

易错点

• 哈罗德-多马和索洛模型不要混在一起，一个强调刃锋增长，一个强调稳态收敛。
• 黄金律条件是最优稳态，不等于任意稳态。

第 14 章 通货膨胀理论

消费物价指数

$$CPI=\frac{一组固定商品按当期价格计算的价值}{一组固定商品按基期价格计算的价值}\times 100%$$

价格调整方程

$$\pi_t=\pi_t^e+h\frac{(Y_t-Y_f)}{Y_f}$$

通货膨胀递推示例

$$\pi_2=18%+0.4\frac{90-100}{100}=14%$$

$$\pi_3=14%+0.4\frac{90-100}{100}=10%$$

$$\pi_4=10%+0.4\frac{90-100}{100}=6%$$

$$\pi_5=6%+0.4\frac{90-100}{100}=2%$$

常见题型

• 根据 CPI 公式计算价格指数。
• 用价格调整方程递推未来几期通货膨胀率。
• 区分需求拉动、成本推动和结构性通货膨胀。

推导来源

• CPI 来自“固定篮子”价格与基期价格的比较。
• 价格调整方程来自“预期通胀 + 需求压力”共同决定当期通胀。

易错点

• 题里若说“按上一期通胀形成预期”，就要把 $\pi_t^e$ 替换成 $\pi_{t-1}$。
• 产出缺口 $\frac{Y_t-Y_f}{Y_f}$ 为负时，会压低通胀率。

高频公式地图

最常被反复使用的 10 个公式

1. $$Q_d(P)=Q_s(P)$$ 用于一切均衡价格和均衡数量题。
2. $$E_d=-\frac{dQ}{dP}\cdot\frac{P}{Q}$$ 用于弹性和总收益判断题。
3. $$\frac{MU_1}{P_1}=\frac{MU_2}{P_2}=\cdots=\lambda$$ 用于消费者最优选择。
4. $$MRS=\frac{P_1}{P_2}$$ 用于无差异曲线切点条件。
5. $$MR=MC$$ 用于厂商最优产量。
6. $$\frac{MP_L}{r_L}=\frac{MP_K}{r_K}$$ 用于最优要素组合。
7. $$I=S$$ 用于简单产品市场均衡。
8. $$\Delta Y=\frac{\Delta I}{1-\beta}$$ 用于乘数分析。
9. $$ \begin{cases} S(Y)=I(r) \ L(Y,r)=m \end{cases} $$ 用于 IS-LM 总均衡。
10. $$\pi_t=\pi_t^e+h\frac{(Y_t-Y_f)}{Y_f}$$ 用于通货膨胀动态分析。

做题时先判断是哪一类

• 遇到“均衡价格、均衡数量”：先找需求函数和供给函数。
• 遇到“最优选择、最大化、最小化”：先找边际条件。
• 遇到“投入组合、成本最小化”：先找 $MRTS$ 或 $\frac{MP}{r}$。
• 遇到“收入变化几倍放大”：先找乘数公式。
• 遇到“两个市场同时均衡”：先联立 IS-LM 或其他方程组。
• 遇到“通胀怎么递推”：先找价格调整方程。

高频模块增强版

1. 弹性模块

核心公式

$$E_d=-\frac{dQ}{dP}\cdot\frac{P}{Q}$$

标准步骤

1. 先把题目给的需求函数写清楚。
2. 对价格求导，得到 $dQ/dP$。
3. 代入题目给定点的 $P$ 和 $Q$。
4. 判断 $E_d$ 与 1 的大小关系，再分析总收益变化。

易错点

• 负号别漏。
• 代入时 $Q$ 要用该价格对应的需求量，不是题目里别的数量。

2. 消费者最优模块

核心公式

$$ \begin{cases} \frac{MU_1}{P_1}=\frac{MU_2}{P_2}=\lambda \\ P_1X_1+P_2X_2=I \end{cases} $$

或

$$MRS_{12}=\frac{P_1}{P_2}$$

标准步骤

1. 写预算约束。
2. 写边际效用或边际替代率条件。
3. 联立求最优消费组合。

易错点

• 最优点不仅要满足斜率条件，还要满足预算约束。

3. 厂商最优模块

核心公式

$$MR=MC$$

标准步骤

1. 若题目给的是需求函数，先推反需求函数。
2. 再写总收益函数 $TR(Q)$。
3. 对 $TR$ 求导得 $MR$。
4. 令 $MR=MC$，先求产量。
5. 再回到需求函数求价格。

易错点

• 不要直接把 $MR=MC$ 解出的量当成价格。

4. IS-LM 模块

核心公式

$$S(Y)=I(r)$$

$$L(Y,r)=m$$

标准步骤

1. 先由消费函数推出储蓄函数。
2. 写出 IS。
3. 写出 LM。
4. 联立求 $Y$ 和 $r$。

易错点

• IS 来自产品市场，LM 来自货币市场，来源不要写反。

5. AD-AS 模块

核心公式

$$ \begin{cases} I(r)=S(Y) \\ L(Y,r)=\frac{M}{P} \end{cases} $$

标准步骤

1. 把价格水平 $P$ 放进实际货币供给。
2. 联立 IS-LM。
3. 消去 $r$，得到 $Y(P)$。

易错点

• 这是总需求函数，不是总供给函数。

6. 增长模块

核心公式

$$G=\frac{s}{v}$$

$$sf(k)=nk$$

标准步骤

1. 若是哈罗德-多马题，重点找储蓄率和资本产出比。
2. 若是索洛题，重点找人均储蓄曲线和资本广化线。

易错点

• 不要把增长率公式和稳态条件混成一个模型。

题型模板

模板 1：已知需求函数，求点弹性

题型特征

• 题目会给出 $Q=f(P)$ 或 $P=f(Q)$。
• 会指定某个价格点或数量点。

解题模板

1. 先把需求函数整理成 $Q=f(P)$。
2. 求导，得到 $\frac{dQ}{dP}$。
3. 代入该点的 $P$ 和 $Q$。
4. 使用

$$E_d=-\frac{dQ}{dP}\cdot\frac{P}{Q}$$

5. 判断：
   • 若 $E_d>1$，需求富有弹性。
   • 若 $E_d<1$，需求缺乏弹性。
   • 若 $E_d=1$，单位弹性。

典型结论

• 缺乏弹性时，提价通常提高总收益。
• 富有弹性时，降价通常提高总收益。

模板 2：已知效用函数和预算约束，求消费者最优

题型特征

• 给出 $U(x_1,x_2)$、收入 $I$、价格 $P_1,P_2$。

解题模板

1. 写预算约束：

$$P_1X_1+P_2X_2=I$$

2. 求边际效用 $MU_1, MU_2$。
3. 写最优条件：

$$\frac{MU_1}{P_1}=\frac{MU_2}{P_2}$$

或

$$MRS_{12}=\frac{P_1}{P_2}$$

4. 联立预算约束求 $X_1,X_2$。

典型结论

• 先用斜率条件锁定比例，再用预算约束锁定具体数量。

模板 3：已知生产函数和要素价格，求最优要素组合

题型特征

• 给出 $Q=f(L,K)$ 和 $r_L,r_K$。
• 要求成本最小化或既定成本下产量最大化。

解题模板

1. 求 $MP_L, MP_K$。
2. 写最优条件：

$$\frac{MP_L}{r_L}=\frac{MP_K}{r_K}$$

或

$$MRTS_{LK}=\frac{r_L}{r_K}$$

3. 若给定成本，再联立

$$r_LL+r_KK=C$$

4. 若给定产量，再联立

$$f(L,K)=y$$

典型结论

• 最优组合的本质是“最后一元钱花在哪种要素上带来的产出一样多”。

模板 4：已知需求函数和成本条件，求厂商最优产量与价格

题型特征

• 常见于垄断或不完全竞争厂商。

解题模板

1. 将需求函数化为反需求函数 $P=f(Q)$。
2. 写总收益函数：

$$TR=P(Q)\cdot Q$$

3. 求边际收益：

$$MR=\frac{dTR}{dQ}$$

4. 令

$$MR=MC$$

先求最优产量 $Q^$。 5. 再把 $Q^$ 代回反需求函数求价格 $P^*$。

典型结论

• 产量先于价格求出。

模板 5：已知消费函数和投资，求简单凯恩斯均衡收入

题型特征

• 常见给出 $C=\alpha+\beta Y$ 和 $I=I_0$。

解题模板

1. 写两部门均衡条件：

$$Y=C+I$$

2. 代入消费函数和投资函数。
3. 解出 $Y$。
4. 若要求储蓄，再用

$$S=Y-C$$

5. 若要求乘数，再用

$$k=\frac{1}{1-\beta}$$

典型结论

• 先求收入，再求储蓄、乘数或缺口。

模板 6：已知消费、投资、货币需求和货币供给，求 IS-LM 均衡

题型特征

• 给出消费函数、投资函数、货币需求函数和货币供给。

解题模板

1. 由消费函数推出储蓄函数：

$$S=Y-C$$

2. 写 IS：

$$S(Y)=I(r)$$

3. 写 LM：

$$L(Y,r)=m$$

4. 将 IS 和 LM 整理成两个线性方程。
5. 联立求 $Y,r$。

典型结论

• 如果题目再问财政或货币政策效果，就改外生变量后重复联立。

模板 7：从 IS-LM 推导总需求函数

题型特征

• 题目会给名义货币供给 $M$ 和价格水平 $P$。

解题模板

1. 写出 IS：

$$I(r)=S(Y)$$

2. 写出 LM：

$$L(Y,r)=\frac{M}{P}$$

3. 联立两式。
4. 消去 $r$，得到 $Y$ 关于 $P$ 的函数，即 AD。

典型结论

• AD 本质上是“价格水平变化如何通过货币市场影响总需求”。

模板 8：已知通胀递推规则，求未来若干期通胀率

题型特征

• 给初始通胀、预期形成方式、产出缺口和系数 $h$。

解题模板

1. 写价格调整方程：

$$\pi_t=\pi_t^e+h\frac{(Y_t-Y_f)}{Y_f}$$

2. 若题目说适应性预期，则令

$$\pi_t^e=\pi_{t-1}$$

3. 逐期代入计算 $\pi_2,\pi_3,\pi_4,\dots$。

典型结论

• 只要产出持续低于潜在产出，通胀率就会逐步下降。

易混公式对照表

1. $MRS$、$MRTS$、$MRT$

$MRS$

$$MRS_{12}=-\frac{dX_2}{dX_1}$$

• 场景：消费者选择
• 含义：保持效用不变时，愿意用多少商品 2 换 1 单位商品 1

$MRTS$

$$MRTS_{LK}=-\frac{dK}{dL}$$

• 场景：生产者选择
• 含义：保持产量不变时，劳动和资本如何替代

$MRT$

$$MRT=\left|\frac{dY}{dX}\right|$$

• 场景：生产可能性边界、一般均衡
• 含义：增加一种产品必须放弃多少另一种产品

2. $VMP$ 与 $MRP$

$VMP$

$$VMP=P\cdot MP$$

• 适用于产品市场完全竞争时的要素分析

$MRP$

$$MRP=MR\cdot MP$$

• 适用于更一般情形

关系

• 完全竞争产品市场中：$MR=P$，所以 $MRP=VMP$
• 不完全竞争产品市场中：通常 $MR<P$，所以 $MRP<VMP$

3. $MPC$ 与 $MPS$

$MPC$

$$MPC=\frac{\Delta C}{\Delta Y}$$

$MPS$

$$MPS=\frac{\Delta S}{\Delta Y}$$

关系

$$MPC+MPS=1$$

• 一个讲新增收入中多少用于消费
• 一个讲新增收入中多少用于储蓄

4. 名义货币供给与实际货币供给

名义货币供给

$$M$$

实际货币供给

$$\frac{M}{P}$$

区别

• 名义货币供给是中央银行直接控制的货币数量
• 实际货币供给考虑了价格水平，进入 LM 和 AD 推导时常用 $\frac{M}{P}$

5. 简单乘数模型与 IS-LM 模型

简单乘数模型

$$\Delta Y=\frac{\Delta I}{1-\beta}$$

• 只看产品市场

IS-LM 模型

$$ \begin{cases} S(Y)=I(r) \\ L(Y,r)=m \end{cases} $$

• 同时看产品市场和货币市场

区别

• 简单乘数没有利率反馈
• IS-LM 有利率和货币市场约束

一页速记表

微观部分最重要的 12 个公式

1. 市场均衡

$$Q_d(P)=Q_s(P)$$

2. 需求价格弹性

$$E_d=-\frac{dQ}{dP}\cdot\frac{P}{Q}$$

3. 预算约束

$$P_1X_1+P_2X_2=I$$

4. 消费者最优

$$\frac{MU_1}{P_1}=\frac{MU_2}{P_2}=\lambda$$

5. 无差异曲线切点条件

$$MRS_{12}=\frac{P_1}{P_2}$$

6. 生产函数

$$Q=f(L,K)$$

7. 边际产量

$$MP_L=\frac{dQ}{dL}$$

8. 最优要素组合

$$\frac{MP_L}{r_L}=\frac{MP_K}{r_K}$$

9. 总收益

$$TR=P(Q)\cdot Q$$

10. 边际收益

$$MR=\frac{dTR}{dQ}$$

11. 厂商最优

$$MR=MC$$

12. 要素使用最优

$$MRP=MFC$$

宏观部分最重要的 12 个公式

1. 消费函数

$$C=\alpha+\beta Y_d$$

2. 储蓄函数

$$S=Y-C$$

3. 边际消费倾向

$$MPC=\frac{\Delta C}{\Delta Y}$$

4. 边际储蓄倾向

$$MPS=\frac{\Delta S}{\Delta Y}$$

5. 两部门均衡

$$Y=C+I$$

6. 产品市场均衡

$$I=S$$

7. 投资乘数

$$\Delta Y=\frac{\Delta I}{1-\beta}$$

8. IS 曲线

$$S(Y)=I(r)$$

9. LM 曲线

$$L(Y,r)=m$$

10. AD 推导核心

$$L(Y,r)=\frac{M}{P}$$

11. 哈罗德-多马增长率

$$G=\frac{s}{v}$$

12. 价格调整方程

$$\pi_t=\pi_t^e+h\frac{(Y_t-Y_f)}{Y_f}$$

看到题目时的快速匹配

• 看到“均衡价格、均衡数量”：先写 $Q_d=Q_s$
• 看到“弹性”：先写 $E_d=-\frac{dQ}{dP}\frac{P}{Q}$
• 看到“消费者最优”：先写预算约束和 $MU/P$ 相等
• 看到“厂商最优”：先写 $MR=MC$
• 看到“要素组合”：先写 $\frac{MP_L}{r_L}=\frac{MP_K}{r_K}$
• 看到“国民收入决定”：先写 $Y=C+I$ 或 $I=S$
• 看到“IS-LM”：先分别写产品市场和货币市场均衡
• 看到“通胀递推”：先写价格调整方程

常考推导链

推导链 1：需求函数到厂商最优价格

$$Q=f(P)$$

$\downarrow$ 先化成反需求函数

$$P=P(Q)$$

$\downarrow$

$$TR=P(Q)\cdot Q$$

$\downarrow$

$$MR=\frac{dTR}{dQ}$$

$\downarrow$

$$MR=MC$$

$\downarrow$ 先求 $Q^*$

$$P^_=P(Q^_)$$

用途

• 垄断厂商最优产量和最优价格
• 不完全竞争厂商最优决策

推导链 2：效用函数到消费者最优组合

$$U=U(X_1,X_2)$$

$\downarrow$ 求边际效用

$$MU_1,\ MU_2$$

$\downarrow$

$$\frac{MU_1}{P_1}=\frac{MU_2}{P_2}$$

$\downarrow$ 再联立

$$P_1X_1+P_2X_2=I$$

$\downarrow$

$$X_1^_,X_2^_$$

用途

• 消费者均衡
• 无差异曲线和预算线切点题

推导链 3：生产函数到最优要素投入

$$Q=f(L,K)$$

$\downarrow$

$$MP_L,\ MP_K$$

$\downarrow$

$$\frac{MP_L}{r_L}=\frac{MP_K}{r_K}$$

$\downarrow$

联立成本约束或产量约束

$\downarrow$

$$L^_,K^_$$

用途

• 成本最小化
• 要素最优组合

推导链 4：消费函数到简单凯恩斯均衡

$$C=\alpha+\beta Y$$

$\downarrow$

$$Y=C+I$$

$\downarrow$

$$Y=\alpha+\beta Y+I$$

$\downarrow$

解出 $Y^*$

$\downarrow$

$$S=Y-C$$

用途

• 简单国民收入决定模型
• 乘数题

推导链 5：消费函数到 IS 曲线

$$C=\alpha+\beta Y$$

$\downarrow$

$$S=Y-C$$

$\downarrow$

$$S(Y)=I(r)$$

$\downarrow$

整理得到

$$Y=a-br$$

用途

• 推 IS 曲线
• 财政政策效应分析

推导链 6：货币需求到 LM 曲线

$$L=L(Y,r)$$

$\downarrow$

$$L(Y,r)=m$$

$\downarrow$

整理得到

$$Y=c+dr$$

用途

• 推 LM 曲线
• 货币政策效应分析

推导链 7：IS-LM 到总需求曲线

$$ \begin{cases} S(Y)=I(r) \\ L(Y,r)=\frac{M}{P} \end{cases} $$

$\downarrow$

消去 $r$

$\downarrow$

得到

$$Y=Y(P)$$

用途

• 推总需求曲线
• 分析价格水平变化对产出的影响

推导链 8：产出缺口到通货膨胀路径

$$\pi_t=\pi_t^e+h\frac{(Y_t-Y_f)}{Y_f}$$

$\downarrow$ 若适应性预期

$$\pi_t^e=\pi_{t-1}$$

$\downarrow$

逐期递推

$\downarrow$

$$\pi_2,\pi_3,\pi_4,\dots$$

用途

• 制造衰退降低通胀
• 通货膨胀动态路径题

建议怎么用这份公式表

• 先按章节看，确认这一章的核心变量和均衡条件是什么。
• 再回到正文，弄清每个公式是定义式、恒等式，还是最优化条件。
• 如果你要系统推导，下一步最值得补的是两块：现值与贴现、拉格朗日乘数法。