| title | 可视化微分几何和形式 尼达姆 (下) |
|---|---|
| description | 行到水穷处, 坐看云起时. 偶然值林叟, 谈笑无还期. |
| date | 2024-01-24 |
- 正如我们的二维曲面局部地由它们的切平面来描述,
每个切平面都具有
$$ \mathbb{R}^2 $$
的结构一样,
$$ n $$
维流形中紧邻一个点的局部类似于
$$ \mathbb{R}^n $$,
但相邻点之间的距离是用一个非欧几里得度量来量度的.
- 第一, 我们最初对二维曲面的内蕴曲率 $$ \mathcal{K}(p) $$ 的定义是, 当一个小测地线三角形收缩到点 $$ p $$ 时, 其单位面积的局部角盈:
- $$ \mathcal{K}(p) = \lim_{△ \to p} \frac{\mathcal{E}(△)}{\mathcal{A}(△)} $$.
- 现在我们要把这个定义扩展到 $$ n $$ 流形 ($$ n $$ 维流形的简称).
- 第二, 事实将证明, 对于
$$ n $$
流形来说, 角盈是一种笨拙的工具, 无法直接察觉
$$ n $$
流形更微妙的曲率. 然而,
向量绕一个收缩的小环平行移动所产生的
和乐性, 能够以一种非常直接的方式完全揭示这种更复杂的曲率结构. 显然, 定义 $$ n $$ 流形的曲率就必须理解这种空间中的平行移动. - 第三, 我们使用平行移动来定义在
$$ n $$
流形内的内蕴 (又名
协变) 导数. 好消息是, 当用内蕴项表示时, 从 $$ 2 $$ 曲面到 $$ n $$ 流形的过渡不需要改变最初的定义, 只要改变记号, 把 $$ D_v $$ 写成 $$ \nabla_v $$ 就行了. - 第四是本章的核心内容: 我们利用平行移动将和乐性从二维曲面推广到 $$ n $$ 流形.
- 第五, 我们将弄清如何将雅可比方程推广到 $$ n $$ 流形.
- 第六, 我们将讨论黎曼曲率的
平均, 称为里奇曲率张量, 这是一个具有几何意义的, 特别重要的概念. 在爱因斯坦的四维弯曲时空中, 里奇张量恰有曲率的完整信息的一半 (全部 20 个分量中的 10 个).
全书正篇, 正式开始~
- $$ n $$
流形的广义内蕴曲率具有
$$ \frac{1}{12} n^2 (n^2 - 1) $$
个不同的分量, 需要用一个数组来表示.
- 这个用数组列阵表示的几何对象称为
黎曼张量.
- 这个用数组列阵表示的几何对象称为
在物理学家眼里, 张量就是一个可以用数组表示的物理量,
例如速度 (一阶张量) 和刚体的应变 (二阶张量).
所谓物理量就是与坐标系无关的量, 其分量
(即数组中的每个数) 在坐标变换中具有相应的规律.
在数学家眼里, 张量就是一个与坐标系无关的多重线性映射.
-- 译者注
- 我们不再假设 $$ 3 $$ 流形是欧几里得的 $$ \mathbb{R}^3 $$; 相反, 它被赋予了一个一般的非欧几里得度量.
-
定角锥上的最近向量 假设 $$ \mathbf{w}(p) $$ 与测地线 $$ G $$ 的夹角为 $$ a
$$. 将 $$ \mathbf{w}(p) $$ 沿着 $$ G $$ 平行移动距离 $$ ϵ $$ 到达点 $$ q$$, 用在点 $$ q $$ 与 $$ G $$ 的夹角为 $$ a $$ 的向量构成锥面 $$ \mathcal{C}$$, 然后从中挑出端点最接近 $$ \mathbf{w}(p) $$ 的端点的那一个. -
在平行移动平面内的定角 在 $$ \mathbb{R}^3 $$ 内, 取从点 $$ p $$ 出发, 方向为 $$ \mathbf{v}(p) $$ 和 $$ \mathbf{w}(p) $$ 的线性组合的所有直线组成的平面 $$ Π(p)
$$. 类似地, 在弯曲的 $$ 3 $$ 流形内, 设 $$ Π(p) $$ 是从点 $$ p $$ 出发, 方向为 $$ \mathbf{v}(p) $$ 和 $$ \mathbf{w}(p) $$ 的线性组合的所有测地线组成的"平面".- 当然, 该"平面"事实上是一个弯曲的 $$ 2 $$ 曲面. 注意, 因为 $$ G $$ 方向为 $$ \mathbf{v}(p) $$ 的测地线, 所以它肯定包含在这个曲面 $$ Π(p) $$ 内.
- 如前面的构作方法一样, 设 $$ q $$ 是 $$ G $$ 上距离点 $$ p $$ 为 $$ ϵ $$ 的点. 由构作方法决定, $$ Π(p) $$ 当然包含点 $$ q $$ 以及 $$ G $$ 在点 $$ q $$ 处的新方向, 即 $$ \mathbf{v}(q) $$.
- 如果我们将镜头拉近到
$$ Π(p) $$
上包围
$$ q $$
的小区域上, 它看起来就像一个欧几里得平面.
我们就可以通过从点
$$ q $$
沿在
$$ Π(p) $$
上包围
$$ q $$
的小区域上的所有方向发射出测地线,
构作一个新的曲面
$$ Π_{\parallel} (p \rightsquigarrow q)
$$, 即将 $$ Π(p) $$ 平行移动到点 $$ q $$ 生成的曲面. - 沿测地线
$$ G $$
平行移动
$$ \mathbf{w}(p)
$$, 我们保持其长度以及它与 $$ G $$ 的夹角 $$ a $$ 都不变, 同时保持它与平行移动生成的 $$ 2 $$ 曲面 $$ Π_{\parallel} $$ 相切.
-
在 $$ 2 $$ 曲面上, 考虑非常短的切向量 (事实上是曲面在切平面 $$ \mathbb{R}^2 $$ 内的向量), 而不是在曲面内的向量, 这样常常是有益的. 同样, 在 $$ n $$ 流形内, 可以想象在切空间 $$ \mathbb{R}^n $$ 内非常短的向量是位于流形
内的.- 如果要平行移动一个在点
$$ p $$
处的长切向量, 因为平行移动 (由定义决定)
是保持长度不变的, 我们可以在点
$$ p $$
处的切空间
$$ \mathbb{R}^n $$
内用某个大因子
$$ N $$
将它收缩, 就可以想象收缩后它是在流形
内的, - 然后再将它平行移动, 最后在终点的切空间 $$ \mathbb{R}^n $$ 内再用同样的大因子 $$ N $$ 将它放大, 这样就保留了它最初的长度.
- 如果要平行移动一个在点
$$ p $$
处的长切向量, 因为平行移动 (由定义决定)
是保持长度不变的, 我们可以在点
$$ p $$
处的切空间
$$ \mathbb{R}^n $$
内用某个大因子
$$ N $$
将它收缩, 就可以想象收缩后它是在流形
-
希尔德的梯子.
- (a) 沿测地线
$$ G $$
移动距离
$$ ϵ
$$, 画出点 $$ q$$. 用测地线段连接 $$ \mathbf{w}(p) $$ 的端点和 $$ q $$, 并标记其中点为 $$ m $$. - (b) 用另一条测地线连接点
$$ p $$
和
$$ m
$$, 再延长相同的距离, 构作到终点 $$ r $$ 的测地线段. - (c) 连接 $$ q $$ 和 $$ r $$ 就生成了希尔德梯子的第一级横档 $$ \asymp \mathbf{w}_{\shortparallel} (p \rightsquigarrow q) $$.
- (d) 重复这个构作, 为希尔德梯子增加更多横档. 最后, 令 $$ ϵ \to 0 $$ 就得到了沿 $$ G $$ 的平行移动 $$ \mathbf{w}_{\shortparallel} $$.
- (a) 沿测地线
$$ G $$
移动距离
$$ ϵ
-
我们的任务是求向量场 $$ \mathbf{w} $$ 在从点 $$ p $$ 沿单位向量 $$ \mathbf{v} $$ 的方向移动时的变化率. 我们从点 $$ p $$ 沿 $$ ϵ \mathbf{v} $$ 移动一段很短 (最终为 $$ 0
$$) 的距离 $$ ϵ$$, 到达点 $$ q $$.- 为了求出新的向量
$$ \mathbf{w}(q) $$
从其初始的
$$ \mathbf{w}(p) $$
变化了多少, 我们将它从点
$$ q $$
平行移动回到点
$$ p
$$, 成为 $$ \mathbf{w}{\shortparallel}(q \rightsquigarrow p) $$. 然后, 先求出改变 $$ [\mathbf{w}{\shortparallel} (q \rightsquigarrow p) - \mathbf{w}(p)]$$, 再除以 $$ ϵ $$ 求出变化率.
- 为了求出新的向量
$$ \mathbf{w}(q) $$
从其初始的
$$ \mathbf{w}(p) $$
变化了多少, 我们将它从点
$$ q $$
平行移动回到点
$$ p
-
接下来采用标准的记号, 用哈密顿算子 $$ \nabla $$ 来表示
内蕴导数:- $$ \nabla_v \mathbf{w} \asymp \frac{ \mathbf{w}_{\shortparallel} (q \rightsquigarrow p) - \mathbf{w}(p) }{ϵ} $$
-
在接下来的讨论中, 我们将证明, 用实际的变化本身, 而不是变化率来考虑内蕴导数会更有用:
- $$ \mathbf{w}{\shortparallel} (q \rightsquigarrow p) - \mathbf{w}(p) \asymp ϵ \nabla_v \mathbf{w} = \nabla{ϵv} \mathbf{w} $$.
-
令 $$ δ_{pq} \mathbf{w} $$ 为 $$ \mathbf{w} $$ 沿向量 $$ \mathbf{ϵ} ≡ ϵ \mathbf{v} $$ 从点 $$ p $$ 到点 $$ q $$ 微小的内蕴变化, 则 $$ δ_{pq} \mathbf{w} = \mathbf{w} $$ 从 $$ \mathbf{ϵ} \asymp \nabla_{ϵ} \mathbf{w} $$ 的尾端到顶端的内蕴变化.
- 从这个定义, 立即可得 $$ \nabla_v \mathbf{w}{\shortparallel} = 0 \Longleftrightarrow \mathbf{w}{\shortparallel} $$ 沿着 $$ \mathbf{v} $$ 的平行移动.
- 如果
$$ \mathbf{v} $$
是测地线的速度向量, 则它沿自身的平行移动就是它自己,
因此
测地线方程现在具有形式: $$ \nabla_v \mathbf{v} = 0 $$. - 应该指出, 如果我们允许质点沿测地线运动的速率可以加快或减慢,
则得到测地线方程更一般的形式, 即
$$ \nabla_v \mathbf{v} \varpropto \mathbf{v}
$$. 也就是说, $$ \mathbf{v} $$ 的方向是内蕴不变的, 但其大小是可以变化的.
-
正如在 $$ 2 $$ 流形 (曲面) 上做的一样, 我们可以通过沿一个小的回路 $$ L $$ 平行移动单位向量 $$ \mathbf{w}_{\shortparallel} $$ 来研究 $$ n $$ 流形的曲率.
- 具体地说, 我们将尝试构作一个以两个 (单位) 向量场 $$ \mathbf{u} $$ 和 $$ \mathbf{v} $$ 为边的平行四边形作为 $$ L $$.
-
在 $$ 2 $$ 曲面内, 将初始向量 $$ \mathbf{w}_o $$ 平行移动后只能成为 $$ \mathbf{u} $$ 和 $$ \mathbf{v} $$ 所在平面内的向量. 而 $$ 3 $$ 流形 (或更一般的 $$ n $$ 流形) 的基础性新特征是 $$ \mathbf{w} $$ 可以伸出它平行移动的小回路所在的平面.
- $$ 2 $$
流形 (即曲面) 的切空间 (即切平面) 是唯一的. 而
$$ 3 $$
流形的切空间是一个
$$ \mathbb{R}^3
$$, 有无穷多个切平面, 所以 $$ 3 $$ 流形的切向量一般不是只在一个平面内的. 更有甚者, 小回路都可能不在一个平面内. 这就与曲面有根本性的差别了. (译者注)
- $$ 2 $$
流形 (即曲面) 的切空间 (即切平面) 是唯一的. 而
$$ 3 $$
流形的切空间是一个
$$ \mathbb{R}^3
-
黎曼曲率的几何平均. 从点 $$ o $$ 开始, 用两个向量场 $$ \mathbf{u} $$ 和 $$ \mathbf{v} $$ 创建一个很小的平行四边形 $$ L
$$, 然后, 绕 $$ L $$ 平行移动初始向量 $$ \mathbf{w}o $$ 生成 $$ \mathbf{w}{\shortparallel} $$.- 当它返回到点
$$ o $$
时生成
$$ \mathbf{w}{\shortparallel}(o) $$,
它的改变量就是
向量和乐性$$ δ \mathbf{w}{\shortparallel} = - \mathcal{R} (\mathbf{u} δu, \mathbf{v} δv) \mathbf{w}$$, 其中 $$ \mathcal{R} $$ 是黎曼曲率算子.
- 当它返回到点
$$ o $$
时生成
$$ \mathbf{w}{\shortparallel}(o) $$,
它的改变量就是
注: 其实此时的平行四边形一般无法闭合~ 暂时可以先忽略这一点.
-
我们绕 $$ L $$ 平行移动 $$ \mathbf{w}o $$, 生成 $$ \mathbf{w}{\shortparallel}
$$, 返回到点 $$ o $$ 成为 $$ \mathbf{w}{\shortparallel} (o) $$. 于是我们可以定义向量和乐性为由曲率引起的 $$ \mathbf{w}{\shortparallel} $$ 的净变化量:- $$ δ \mathbf{w}{\shortparallel} ≡ \mathbf{w}{\shortparallel} (\mbox{在返回点 } o \mbox{ 时}) - \mathbf{w}(\mbox{从点 } o \mbox{ 出发时}) $$.
-
在 $$ 2 $$ 曲面内, 我们引入了和乐性算子 $$ \mathcal{R} (L)
$$, (当它作用于 $$ \mathbf{w} $$ 时) 给出了 $$ \mathbf{w} $$ 沿 $$ L $$ 平行移动后的净旋转 (和乐性). 在 $$ 3 $$ 流形或者 $$ n $$ 流形中, $$ L $$ 可以位于无穷多个不同的平面中.- 此外, 对于 $$ 2 $$ 曲面, 因为在平行移动其中的切向量时, 整个切平面刚性地旋转, 所以我们不需要注意是哪个向量 $$ \mathbf{w} $$ 正在被移动: 它们都旋转相同的量 $$ \mathcal{R} (L) $$.
- 但在 $$ 3 $$ 流形中, $$ \mathbf{w} $$ 可能会伸出 $$ L $$ 所在的平面, 而在 $$ n $$ 流形中, 它可以有很多独立的指向方式. 至关重要的是, 向量的和乐性现在确实取决于哪个向量在回路上平行移动.
-
出于这两个原因, 我们必须完善和推广之前的符号, 并引入与平行四边形 $$ L $$ 的边相关的
黎曼曲率算子$$ \mathcal{R} $$, 然后作用于平行移动的向量, 产生向量和乐性:- $$ -δ \mathbf{w}_{\shortparallel} ≡ \mathcal{R} (\mathbf{u} δu, \mathbf{v} δv) \mathbf{w} $$.
-
正如我们所知, $$ 2 $$ 曲面的曲率 $$ \mathcal{K} $$ 完全由单位面积上的和乐性所决定. 在 $$ n $$ 流形中, 我们同样可以看到初始向量 $$ \mathbf{w}o $$ 和平行移动返回到起点 $$ o $$ 时的向量 $$ \mathbf{w}{\shortparallel} (o) $$ 之间产生了夹角 $$ δ Θ $$.
- 由于 $$ \mathbf{w} $$ 是单位向量, 其顶端旋转的距离 $$ \mid δ \mathbf{w} \mid $$ 最终等于旋转角度 $$ δ Θ $$.
-
为了简单起见, 假设 $$ \mathbf{u} $$ 和 $$ \mathbf{v} $$ 是正交的, 所以我们的平行四边形是一个面积为 $$ δ \mathcal{A} = δu δv $$ 的矩形. 然后可以将 $$ \mathcal{K} $$ 推广为一个标量曲率 $$ \mathcal{K} (\mathbf{u}, \mathbf{v}; \mathbf{w}) $$, 同样定义为单位面积的旋转量:
- $$ \mathcal{K} (\mathbf{u}, \mathbf{v}; \mathbf{w}) \asymp \frac{δ Θ}{δ \mathcal{A}} \asymp \frac {\mid δ \mathbf{w}_{\shortparallel} \mid} {δ \mathcal{A}} \asymp \mid \mathcal{R} (\mathbf{u}, \mathbf{v}) \mathbf{w} \mid $$
- 然而, 这显然不再是一个令人满意的曲率度量,
因为我们已经完全丢失了关于向量和乐性
$$ δ \mathbf{w}_{\shortparallel} $$
的
方向这个关键信息. - 正如我们将要看到的, 黎曼张量是包含所有曲率信息的几何对象: 既包含
$$ \mathbf{w}_{\shortparallel} $$
偏离
$$ \mathbf{w}_o $$
的角度
$$ δ Θ $$,
也包含它沿哪个方向的回路平行移动产生了这个偏离.
本文后续很多
矢量/算子字符没有加粗 (黑体), 嫌麻烦~ 可以通过上下文或者字符习惯来区分.
用来闭合平行四边形的向量 c 非常小,
即使在最坏的情况下也不过是 δuδv 阶的,
所以忽略它仍然会得到一个非常接近曲率的近似.
但是为了给黎曼张量一个数学上完美的描述,
必须绕一个封闭的环路平行移动我们的向量,
因此我们只能用 c 封闭这个"有毛病的平行四边形".
对于绑定在坐标网格上的向量场
(即平行于坐标向量的向量场 -- 译者注), 间隙完全消失.
- 这个填补平行四边形间隙的短向量可以表示为其边的
换位子:- $$ \mathbf{c} \asymp [\mathbf{v} δv, \mathbf{u} δu] = [\mathbf{v}, \mathbf{u}] δu δv $$,
- 其中 $$ [\mathbf{v}, \mathbf{u}] ≡ \nabla_v \mathbf{u} - \nabla_u \mathbf{v} $$.
- 我们注意到一个很快就会用到的简单事实,
那就是这个换位子是
反对称的: - $$ [\mathbf{v}, \mathbf{u}] = - [\mathbf{u}, \mathbf{v}] $$.
因为当我们在 2 曲面上移动时, 曲面的整个切平面随之做刚体旋转,
所以我们不需要指定对特定的向量 w 做平行移动.
(这在 3 流形上就不对了:
w 初始方向的选择会影响它绕闭合回路的向量和乐性.)
-
黎曼曲率张量. 为了计算向量和乐性, 任意引入一个基准向量场 $$ \mathbf{w}
$$, 仅要求 $$ \mathbf{w}(o) = \mathbf{w}o $$, 将所有五条边上的变化都加起来, 则 $$ \mathbf{w} $$ 相对于 $$ \mathbf{w}{\shortparallel} $$ 的变化就生成了回路的向量和乐性的负值. -
我们已经到了这出数学剧的一个重要情节, 用
黎曼曲率表示的向量和乐性:- $$ -\frac{δ \mathbf{w}{\shortparallel}}{δu δv} \asymp \mathcal{R} (\mathbf{u}, \mathbf{v}) \mathbf{w} = { [\nabla_u, \nabla_v] - \nabla{[u, v]} } \mathbf{w} $$.
-
现在我们就知道了,
黎曼曲率算子事实上是 $$ \mathcal{R} (\mathbf{u}, \mathbf{v}) = [\nabla_u, \nabla_v] - \nabla_{[u, v]} $$.- $$ -\frac{δ \mathbf{w}_{\shortparallel}}{δu δv} $$ 的负号是非常重要的, 所以要提醒读者注意它的起源和几何意义.
- $$ { [\nabla_u, \nabla_v] - \nabla_{[u, v]} } \mathbf{w} $$ 说的是, 当我们走过闭合回路时, (任意) 基准向量场 $$ \mathbf{w} $$ (相对于 $$ \mathbf{w}_{\shortparallel} $$) 的净变化.
- 但是, 我们要求的几何量是向量和乐性
$$ δ \mathbf{w}{\shortparallel} $$,
它是
相反的, 是 $$ \mathbf{w}{\shortparallel} $$ 相对于 $$ \mathbf{w} $$ 的变化.
-
注意 $$ \mathcal{R} $$ 是
反对称的:- $$ \mathcal{R}(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = - \mathcal{R}(\mathbf{v}, \mathbf{u}) \Longrightarrow \mathcal{R}(\mathbf{u}, \mathbf{u}) = 0 $$.
- 第一个等式在几何上是显然的, 因为它就是说, 如果我们用相反的方向走过平行四边形, 则向量和乐性也被反转方向了.
- 同样, 可以认为第二个等式是说, 沿着任意向量 $$ \mathbf{u} $$ 的一小段, 来回平行移动任意一个向量, 则它会回到原样.
-
现在只需要稍微改变一下符号, 就能最终得到著名的
黎曼曲率张量$$ R $$ 的标准定义, 它是一个输入三个向量, 输出一个向量值的映射 $$ R(\mathbf{u}, \mathbf{v}; \mathbf{w}) $$:- $$ R(\mathbf{u}, \mathbf{v}; \mathbf{w}) ≡ \mathcal{R} (\mathbf{u}, \mathbf{v}) \mathbf{w} = { [\nabla_u, \nabla_v] - \nabla_{[u, v]} } \mathbf{w} $$.
- 当三个输入向量中的任意两个保持不变时, $$ R(\mathbf{u}, \mathbf{v}; \mathbf{w}) $$ 是第三个输入向量的线性函数.
-
正如我们将在第五幕中更详细地讨论的那样, 张量 (根据定义) 是一个输入多个向量的线性函数. 我们现在要解释的是 $$ R $$ 确实是
重线性的:- 当三个输入向量中的任意两个保持不变时, $$ R(\mathbf{u}, \mathbf{v}; \mathbf{w}) $$ 是第三个输入向量的线性函数.
- 此外, 尽管黎曼几何张量是由导数建立的, 但黎曼曲率只取决于位于特定点的三个向量的值, 这个特定点就是计算 $$ R $$ 的那个点: 即黎曼曲率与向量在该点附近如何变化无关.
- 从计算的角度来看, 这似乎是完全矛盾的,
但这在几何上是有意义的, 因为
$$ R $$
告诉我们空间本身的曲率,
而向量仅仅针对这个曲率的某个特定部分 (或
分量).
总而言之, 定义张量的两个性质:
1. 输出线性依赖于每一个输入向量;
2. 输出只依赖于在求值点的输入向量.
- 为了给出几何对象的数值描述, 我们对
$$ n $$
流形的每个点的切空间
$$ \mathbb{R}^n $$
引入一组
标准正交基向量 $$ { \mathbf{e}_i } $$.- 于是, 几何向量 $$ \mathbf{u} $$ 可由其数值分量 $$ { u^i } $$ 表示, 其中 $$ \mathbf{u} = \sum_{i} u^i \mathbf{e}_i $$.
对于更复杂的几何对象, 例如黎曼张量,
就要求多重不同的指标来表示它的分量, 从而会导致多重求和.
我们总是可以把求和指标中的一个安排成上标, 一个安排成下标.
因此, 爱因斯坦引入了一个不易混淆的简单约定, 称为爱因斯坦求和约定.
还有一个爱因斯坦指标约定 (或称爱因斯坦第一约定):
用作下标或上标的拉丁字母取遍从 1 到空间维数 (例如 n) 的正整数值.
本书已经采用了这个约定. 指标约定和求和约定统称为爱因斯坦约定.
译者注
-
通过爱因斯坦求和约定, 可以省略求和号, 将成对出现的上标和下标理解为求和. 例如
- $$ \mathbf{u} = \sum_{i = 1}^{n} u^i \mathbf{e}_i \Longleftrightarrow $$ 爱因斯坦求和约定: $$ \mathbf{u} = u^i \mathbf{e}_i $$.
- 为了求出黎曼张量的分量, 我们将其三个输入向量分解成分量形式:
- $$ \mathbf{u} = u^i \mathbf{e}_i
$$, $$ \mathbf{v} = v^j \mathbf{e}_j$$, $$ \mathbf{w} = w^k \mathbf{e}_k $$. - 于是, $$ R(\mathbf{u}, \mathbf{v}; \mathbf{w}) = R(u^i \mathbf{e}_i, v^j \mathbf{e}_j; w^k \mathbf{e}_k) = R(\mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j; \mathbf{e}_k) u^i v^j w^k $$.
-
我们现在可以定义
黎曼张量的分量$$ R_{ijk}^{l} $$ 为当黎曼张量作用于三个基向量时得到的相应系数: $$ R(\mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j; \mathbf{e}k) ≡ R{ijk}^{l} \mathbf{e}_l $$.- 这样, $$ R $$ 对于一般向量的作用就可以方便地用这些系数表示为: $$ R(\mathbf{u}, \mathbf{v}; \mathbf{w}) = [R_{ijk}^{l} u^i v^j w^k] \mathbf{e}_l $$.
- 为了后面的应用, 我们还定义, $$ R_{ijkm} ≡ R(\mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j; \mathbf{e}_k) \cdot \mathbf{e}_m $$.
- 因为我们选择正交基, 若
$$ l ≠ m $$
则
$$ \mathbf{e}_l \cdot \mathbf{e}_m = 0
$$, 若 $$ l = m $$ 则 $$ \mathbf{e}l \cdot \mathbf{e}m = 1 $$, 所以 $$ R{ijkm} = R{ijk}^{m} $$.
-
在 $$ 2 $$ 曲面内, 一个小回路 $$ L $$ 的和乐性 $$ \mathcal{R}(L) \asymp \mathcal{K} δ \mathcal{A} $$ 只依赖于 $$ L $$ 的面积 $$ δ \mathcal{A}
$$, 与其形状无关. 而在 $$ n $$ 流形内, $$ L $$ 所在的平面有很多相互独立的选择. 所以我们定义, $$ Π(\mathbf{u}, \mathbf{v}) ≡ $$ 由 $$ \mathbf{u} $$ 和 $$ \mathbf{v} $$ 张成的平面.- 对
$$ Π(\mathbf{u}, \mathbf{v}) $$
的选择当然会影响向量和乐性. 对于给定的
$$ \mathbf{w}_o $$,
向量和乐性
仅依赖于 $$ Π $$ 本身, 以及回路的面积: - 如果绕平面
$$ Π $$
上的小面积 (最终为
$$ 0 $$
的) 平行四边形平行移动
$$ \mathbf{w}_o $$,
则向量和乐性正比于平行四边形的
面积$$ δ \mathcal{A} $$, 且独立于其形状.
- 对
$$ Π(\mathbf{u}, \mathbf{v}) $$
的选择当然会影响向量和乐性. 对于给定的
$$ \mathbf{w}_o $$,
向量和乐性
-
黎曼张量具有
四种显著的代数对称性. 我们已经见到过第一种对称性: $$ R(\mathbf{u}, \mathbf{v}; \mathbf{w}) $$ 关于括号中的前两项是反对称的, 这就意味着- $$ R_{jikm} = -R_{ijkm} $$.
- 现在我们证明了另一种不那么明显的对称性, 即 $$ R_{ijkm} $$ 关于最后两个指标也是反对称的:
- $$ R_{ijmk} = -R_{ijkm} $$.
-
为了完整起见, 我们现在来陈述黎曼张量剩下的两种对称性. 首先,
代数比安基恒等式表明, 如果前三个向量循环排列, 则它们的和为 $$ 0 $$:- $$ \mathcal{R}(\mathbf{u}, \mathbf{v}) \mathbf{w} + \mathcal{R}(\mathbf{v}, \mathbf{w}) \mathbf{u} + \mathcal{R}(\mathbf{w}, \mathbf{u}) \mathbf{v} = 0 \Longleftrightarrow R_{ijkm} + R_{jkim} + R_{kijm} = 0 $$.
- 其次, 黎曼张量关于交换第一对和第二对向量也是对称的:
- $$ [\mathcal{R}(\mathbf{u}, \mathbf{v}) \mathbf{x}] \cdot \mathbf{y} = [\mathcal{R}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \mathbf{u}] \cdot \mathbf{v} \Longleftrightarrow R_{ijkm} = R_{kmij} $$.
-
最后, 在以上四种对称性之外, 还有第五种不同的对称性 (对爱因斯坦引力理论至关重要), 称为
微分比安基恒等式:- $$ \nabla_x \mathcal{R} (\mathbf{u}, \mathbf{v}) \mathbf{w} + \nabla_u \mathcal{R} (\mathbf{v}, \mathbf{x}) \mathbf{w} + \nabla_v \mathcal{R} (\mathbf{x}, \mathbf{u}) \mathbf{w} = 0 $$.
-
在 $$ 2 $$ 曲面中, 高斯曲率 $$ \mathcal{K} $$ 表现为一个向量的单位面积和乐性, 这个向量
必然驻留在它平行移动的回路所在的平面内. 但是在 $$ 3 $$ 流形 (或 $$ n $$ 流形) 内, $$ \mathbf{w}_o $$ 通常会伸出这个平面.- 然而, 我们可以自由地选择它就在 $$ Π(\mathbf{u}, \mathbf{v}) $$ 内, 希望能够恢复类似于 $$ 2 $$ 曲面的曲率概念. 然而, 一开始我们就遇到困难了:
- 即使初始向量 $$ \mathbf{w}o $$ 取在平面 $$ Π(\mathbf{u}, \mathbf{v}) $$ 内, 然后绕 $$ Π $$ 内的一个回路平行移动它, 在回到起点 $$ o $$ 的过程中, 也不能保证它只在 $$ Π $$ 内旋转. 平行移动生成的向量 $$ \mathbf{w}{\shortparallel} $$ 通常会伸出 $$ Π $$.
-
为了克服这个困难, 我们就要关注 $$ \mathbf{w}{\shortparallel} $$ 在 $$ Π $$ 内的正交投影 $$ \mathcal{P} [\mathbf{w}{\shortparallel}]
$$. 正式地说, 如果 $$ Π = Π(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2)$$, 则这个正交投影算子 $$ \mathcal{P} $$ 定义为- $$ \mathcal{P} [ a^1 \mathbf{e}_1 + a^2 \mathbf{e}_2 + a^3 \mathbf{e}_3 ] = a^1 \mathbf{e}_1 + a^2 \mathbf{e}_2 $$.
- 设
$$ \mathbf{w}o $$
是
$$ Π $$
内的任意向量, 它绕
$$ Π $$
内的一个回路平行移动生成
$$ \mathbf{w}{\shortparallel}
$$. 令 $$ \mathbf{w}{\shortparallel} $$ 在 $$ Π $$ 内的投影为 $$ \mathcal{P} (\mathbf{w}{\shortparallel})$$, 定义 $$ \mathcal{K} (\mathbf{u}, \mathbf{v}) $$ 为 $$ \mathcal{P} (\mathbf{w}_{\shortparallel}) $$ 的单位面积旋转, 则 $$ \mathcal{K} (\mathbf{u}, \mathbf{v}) $$ 与 $$ \mathbf{w}_o $$ 的选择无关. - 因此曲率
$$
\mathcal{K} (\mathbf{u}, \mathbf{v}) =
\mathcal{K} (Π)
$$
只依赖于平面 $$ Π$$, 称为 $$ Π (\mathbf{u}, \mathbf{v}) $$ 的截面曲率. - $$ \mathcal{K} (Π) ≡ \mathcal{K} (\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2) ≡ [\mathcal{R} (\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2) \mathbf{e}_2] \cdot \mathbf{e}1 ≡ R{1221} $$,
- 也就是说, 它是 $$ \mathbf{e}_2 $$ 绕 $$ { \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2 } $$ 回路平行移动的和乐性在 $$ \mathbf{e}_1 $$ 上的投影. 于是
- $$ \mathcal{P} [δ \mathbf{w}{\shortparallel}] = \begin{bmatrix} δ \mathbf{w}{\shortparallel}^1 \ δ \mathbf{w}_{\shortparallel}^2 \end{bmatrix} \asymp \begin{bmatrix} -\mathbf{w}_o^2 \ \mathbf{w}o^1 \end{bmatrix} \mathcal{K} (Π) δ \mathcal{A} = \mathbf{w}{⊥} \mathcal{K} (Π) δ \mathcal{A} $$,
- 其中的 $$ \mathbf{w}_{⊥} $$ 就是 $$ \mathbf{w}_o $$ 在 $$ Π $$ 内旋转一个直角.
-
因此,
投影$$ \mathcal{P} [\mathbf{w}_{\shortparallel}] $$ 绕面积为 $$ δ \mathcal{A} $$ 的回路平行移动后被旋转的角度 $$ δ Θ $$ 满足 $$ δ Θ \asymp \mathcal{K} (Π) δ \mathcal{A}$$, 与 $$ \mathbf{w}_o $$ 无关. 我们绕了一圈, 回到了最初的观点, 即曲率是指 $$ 2 $$ 曲面内单位面积的和乐性:- $$ \frac{δ Θ}{δ \mathcal{A}} \asymp \mathcal{K} (Π) = R_{1221} $$.
- 只是现在有很多这样的截面曲率, 取决于我们在哪个平面 $$ Π $$ 内平行移动.
-
正如前面提到的, 仅仅知道正交坐标平面上的截面曲率, 只能给出空间黎曼曲率的一个很不完整的描述. 但是如果我们知道
所有平面 $$ Π $$ 的 $$ \mathcal{K}(Π) $$ 呢?- 事实证明, 这足以重建完整的黎曼张量! 在标准教科书中很难找到这种讨论, 但屈内尔的著作给出了 $$ [\mathcal{R} (\mathbf{u}, \mathbf{v}) \mathbf{x}] \cdot \mathbf{y} $$ 的显式公式, 将它表示为 $$ 18 $$ 个截面曲率之和, 这 $$ 18 $$ 个平面由黎曼曲率的四个输入向量的线性组合构成.
在 2 曲面内, 雅可比方程 (测地线偏差方程) 描述了通过正 (或负)
曲率区域的相邻测地线的吸引力 (或排斥力).
在 2 曲面内, 这种吸引力或排斥力只依赖于曲面上测地线通过的点的曲率,
不依赖于测地线通过点的方向.
在 3 流形内, 吸引力或排斥力同样只取决于邻近测地线 (瞬时) 通过的平面,
而不是该平面内测地线的方向. 这个平面 Π = Π(v, ξ) 是由速度向量 v
和从位于中心的质点到圆周上的质点的连接向量 ξ 张成的.
对于 2 曲面, 这个平面只有一种可能的"选择", 而现在的 3 流形
(或 n 流形) 存在无穷多个这样的平面.
这些平面的截面曲率有的是正的, 有的是负的,
导致在有的平面上是吸引力, 在有的平面上是排斥力.
-
因此, 可以很自然地猜到, 当将雅可比方程推广到一个 $$ n $$ 流形时, 只需用两条相邻测地线经过的瞬时平面的
截面曲率$$ \mathcal{K}(Π) $$ 来替代高斯曲率 $$ \mathcal{K} $$.- 我们将证明这个说法是正确的, 但有一个问题: 我们必须关注位于 $$ Π $$ 内的相对加速度分量.
-
之前我们用牛顿上标点来表示沿测地线的导数, 现在则用更标准的 $$ \nabla_v $$ 记法. 所以, 现在的相对速度记为 $$ \nabla_v ξ
$$, 相对加速度记为 $$ \nabla_v \nabla_v ξ $$. -
总之, 相对加速度 $$ \nabla_v \nabla_v ξ $$ 有一个分量在 $$ Π $$ 内, 其作用是将两条测地线拉近 (或推开); 还有一个分量正交于 $$ Π $$, 它对于两条测地线的间隔没有影响, 而是引起它们相互
旋转.- 我们现在关注的是在平面 $$ Π $$ 内产生吸引力或排斥力的分量, 记为 $$ \mathcal{P} [\nabla_v \nabla_v ξ] $$.
- 如我们先前看到的那样, 如果将平行移动生成的向量投影到
$$ Π $$
内, 则和乐性还是由曲率乘以矩形的面积决定的, 只是这次用的是
截面曲率$$ \mathcal{K} (Π) $$.
-
重新考虑我们对雅可比方程的最初证明, 但是想象一下, 在现在的 $$ 3 $$ 流形 (或 $$ n $$ 流形) 中, 我们在平行移动速度向量时要绕行的矩形位于任意平面 $$ Π $$ 内.
- 与前面一样, 绕由两个正交边 $$ ξ $$ 和 $$ v δ t $$ 组成的矩形回路平行移动 $$ v_{\shortparallel} $$, 得到
- $$ δ v_{\shortparallel} \asymp δ t \nabla_v \nabla_v ξ $$.
-
因为质点的速率是不变的, 所以 $$ δ v_{\shortparallel} $$ 正交于 $$ v
$$. 在 $$ 2 $$ 曲面内, 这就是说它与 $$ ±ξ $$ 同向, 但是在 $$ 3 $$ 流形内就不是这样了: 它可能还有一个分量 (对于 $$ n $$ 流形, 有 $$ n - 2 $$ 个分量正交于 $$ Π$$.) 是正交于 $$ Π $$ 的.- 总之, 相对加速度 $$ \nabla_v \nabla_v ξ $$ 有一个分量在 $$ Π $$ 内, 其作用是将两条测地线拉近 (或推开);
- 还有一个分量正交于
$$ Π $$,
它对于两条测地线的间隔没有影响, 而是引起它们相互
旋转.
-
我们现在关注的是在平面 $$ Π $$ 内产生吸引力或排斥力的分量, 记为 $$ \mathcal{P} [\nabla_v \nabla_v ξ] $$.
- 如我们所知, 如果将平行移动生成的向量投影到 $$ Π $$ 内, 则和乐性还是由曲率乘以矩形的面积决定的, 只是这次用的是截面曲率 $$ \mathcal{K} (Π) $$.
-
因此, 我们最初论证基本上一直没有改变, 只是应用了 $$ \nabla_v \nabla_v ξ $$ 到 $$ Π $$ 的投影, 产生
- $$ δ t \mathcal{P} [\nabla_v \nabla_v ξ] \asymp \mathcal{P} [δ v_{\shortparallel}] \asymp v_{⊥} \mathcal{K} (Π) δ \mathcal{A} = [-\frac{ξ}{\mid ξ \mid}] \mathcal{K} (Π) \mid ξ \mid δ t $$.
- 因此, 得到了我们命名的截面雅可比方程: $$ \mathcal{P} [\nabla_v \nabla_v ξ] = - \mathcal{K} (Π) ξ $$.
- 注记: 这不是标准的雅可比方程.
一个下文 (里奇张量) 也使用的可视化例子如下:
-
排列在一个小圆周上的一组质点沿垂直于圆周的方向发射出去. 一些平面 $$ Π(v, ξ) $$ 的 $$ \mathcal{K} (Π) > 0 $$, 导致朝向中心质点的
吸引力; 另一些平面的 $$ \mathcal{K} (Π) < 0 $$, 导致背离中心质点的排斥力. -
在平面 $$ Π $$ 上构建正交基, 取 $$ e_1 = \hat{ξ} = ξ / |ξ| $$ 和 $$ e_2 = \mathbf{v}
$$, 则 $$ e_3 \equiv e_1 \times e_2 $$ 就是 $$ Π $$ 的单位法向量. 这样, 截面曲率的定义就可以写成- $$ \mathcal{K} (Π) = R_{1221} = [\mathcal{R} (e_1, e_2) e_2] \cdot e_1 = [\mathcal{R} (\hat{ξ}, v) v] \cdot \hat{ξ} $$.
- 根据定义, $$ ξ $$ 总是连接两条邻近的测地线, 因此以 $$ v $$ 和 $$ ξ $$ 为边的平行四边形是封闭的:
- $$ [v, ξ] = 0 \Longleftrightarrow \nabla_v ξ = \nabla_ξ v $$.
- 注意 (马上就会用到) 这意味黎曼曲率算子可简化为
- $$ \mathcal{R} (v, ξ) = [\nabla_v, \nabla_ξ] $$.
- 已知上式中的 $$ \nabla_v $$ 是沿测地线的内蕴导数, 回顾 $$ v $$ 满足测地线方程 $$ \nabla_v v = 0 $$, 所以我们得到
- $$ \begin{align} \nabla_v \nabla_v ξ & = \nabla_v \nabla_ξ v \ & = [\nabla_v, \nabla_ξ] v + \nabla_ξ (\nabla_v v) \ & = \mathcal{R} (v, ξ) v + \nabla_ξ (0) \ \end{align} $$
-
这样, 我们就得到了测地线偏离方程, 也就是雅可比方程:
- $$ \nabla_v \nabla_v ξ = - \mathcal{R} (ξ, v) v $$.
- 这就是在所有教科书中都能看到的雅可比方程的标准形式. 为了恢复更直观的"截面"形式, 我们将方程右边分解为分量形式, 得到
- $$ \begin{align} \mathcal{R} (ξ, v) v & = { [\mathcal{R} (ξ, v) v] \cdot \hat{ξ} } \hat{ξ} + { [\mathcal{R} (ξ, v) v] \cdot v } v + { [\mathcal{R} (|ξ| \hat{ξ}, v) v] \cdot e_3 } e_3 \ & = { [\mathcal{R} (\hat{ξ}, v) v] \cdot \hat{ξ} } ξ + 0 + { [\mathcal{R} (e_1, e_2) e_2] \cdot e_3 } |ξ| e_3 \ & = \mathcal{K} (Π) ξ + R_{1223} |ξ| e_3 \ \end{align} $$
- 第二项
$$ R_{1223} |ξ| e_3 $$
是相对加速度正交于
$$ Π $$
的分量, 对应于测地线束的
旋转. - 第一项则表示在 $$ Π $$ 内的吸引力或排斥力.
- 将投影算子 $$ \mathcal{P} $$ 作用于雅可比方程的两边, 就得到了截面雅可比方程:
- $$ \mathcal{P} [\nabla_v \nabla_v ξ] = - \mathcal{P} [\mathcal{R} (ξ, v) v] = - \mathcal{K} (Π) ξ $$.
-
如果将排列成一个小圆周的一组质点以垂直于圆周所在平面的速度 $$ v $$ 发射出去, 圆周所围面积 $$ δ \mathcal{A} $$ 的加速度由所有包含向量 $$ v $$ 的平面的截面曲率的平均值的 2 倍决定, 这个平均值的 2 倍也就是包含 $$ v $$ 的任意两个相互正交平面的截面曲率之和:
- $$ (\ddot{δ \mathcal{A}}) (0) = - [\mathcal{K} (0) + \mathcal{K} (π / 2)] δ \mathcal{A} (0) $$,
- 因此 $$ δ \mathcal{A} (t) - δ \mathcal{A} (0) \asymp - \frac{1}{2} [\mathcal{K} (0) + \mathcal{K} (π / 2)] δ \mathcal{A} (0) t^2 $$.
- 一个重要的事实:
所有方向的截面曲率的平均值等于
任意两个正交方向的截面曲率的平均值.
-
我们现在关注包含质点速度为 $$ v = e_3 $$ 的两个正交坐标平面的截面曲率之和. 回顾 $$ R_{3333} = 0 $$, 并利用反对称性, 就可以把它写成
- $$ \begin{align} \mathcal{K} (0) + \mathcal{K} (\frac{π}{2}) & = R(e_1, e_3; e_3) \cdot e_1 + R(e_2, e_3; e_3) \cdot e_2 \ & = R_{1331} + R_{2332} + R_{3333} \ & = R_{m33}^{m} \ \end{align} $$
- 我们很快就会利用这个表达式引入一个全新的张量,
即
里奇曲率张量. 黎曼张量是输入三个向量, 输出一个向量, 而新的里奇张量是输入两个向量, 输出一个标量. - 即黎曼张量是一个四阶张量, 而里奇张量是一个二阶张量. (译者注)
- 关于记号的注释: 有四个下标的
$$ R $$
是
黎曼张量的一个分量, 而有两个下标的 $$ R $$ 是里奇张量的一个分量.
-
里奇曲率张量定义为
- $$ \mbox{Ricci} (v, w) ≡ \sum_{m = 1}^{n} R(e_m, v; w) \cdot e_m \Longleftrightarrow R_{jk} = \mbox{Ricci} (e_j, e_k) = R_{mjk}^{m} $$.
- 关于记号习惯的注释: 许多作者定义 $$ R_{jk} ≡ R_{jmk}^{m} = -R_{mjk}^{m} $$, 即我们定义的负值.
-
Ricci 确实是一个张量的事实, 与 $$ R $$ 是一个张量的事实紧密相关. 从 $$ R $$ 的对称性也可以得出 Ricci 是
对称的:- $$ \mbox{Ricci} (w, v) = \mbox{Ricci} (v, w) \Longleftrightarrow R_{kj} = R_{jk} $$.
- 利用黎曼张量的对称性, 首先交换黎曼张量定义中的第一对向量和第二对向量, 然后交换每一对中的两个向量, 就得到了里奇张量的这种对称性.
-
现在我们就可以看到
- $$ \begin{align} \mathcal{K} (0) + \mathcal{K} (π / 2) & = R_{m33}^m \ & = \mbox{Ricci} (v, v) \ & = R_{jk} v^j v^k \ \end{align} $$
- 因此得到了一个非常简单的雅可比式方程, 它支配以速度 $$ v $$ 发射的测地线束围的面积的加速度:
- $$ \ddot{δ \mathcal{A}} = - \mbox{Ricci} (v, v) δ \mathcal{A} $$.
- 高斯曲率在
$$ 2 $$
曲面 (或截面曲率在
$$ n $$
流形) 的雅可比方程中的作用在这里被里奇曲率所取代.
我们强调,
正的里奇曲率引起吸引力, 导致面积收缩, 因为它使得测地线聚拢.
-
现在想象一下将上述分析推广到一个 $$ 4 $$ 流形. 仍旧设 $$ v $$ 是发射一组质点的速度. 设这组质点到中心质点是等距的, 并且位于与 $$ v $$ 正交的子空间中.
- 但是这个结构现在产生的不是一个平面上的圆周, 而是一个小的球面, 包围着一个与 $$ v $$ 正交的三维空间中的体积 $$ δ \mathcal{V} $$!
-
虽然我们不去计较细节, 但前面的分析是不变的, 具体来说, 里奇曲率现在控制着以速度 $$ v $$ 同时发射的质点形成的小球面围成的
体积的加速度:- $$ \ddot{δ \mathcal{V}} = - \mbox{Ricci} (v, v) δ \mathcal{V} $$.
- 为了将来的使用, 我们强调
正的里奇曲率会引起吸引力, 导致测地线相互靠拢, 所以它们所包围的体积就会收缩. - 和前面一样, 这意味着 (最初) 体积的变化与时间的平方成比例, 比例系数由里奇曲率决定:
- $$ δ \mathcal{V} (t) - δ \mathcal{V} (0) \asymp - \frac{1}{2} \mbox{Ricci} (v, v) δ \mathcal{V} (0) t^2 $$.
"空间告诉物质如何移动, 物质告诉空间如何弯曲."
说得更详细一些, 自由落体沿弯曲空间的测地线运动:
这些测地线仍旧是最直的路径,
但是它们使得用时空度量测量的 "距离" 最大化 (而不是最小化).
地球重力的潮汐力作用于自由下落的粒子排列成的球面,
导致在水平的 "赤道" 平面 (平行于地球表面) 内压缩,
而在沿重力场的竖直方向上拉伸.
当这个球面下落时, 它就开始变成椭圆的蛋形.
因为平方反比定律, 竖直方向的拉伸力恰好就是赤道方向压缩力的 2 倍.
-
牛顿平方反比潮汐力的几何特征. 关键是要追踪球面 (潮汐力会把它变成蛋形) 在落向地球时的体积变化 $$ δ \mathcal{V} $$.
- 假设粒子最初排列成的球面被包围在一个立方体中. 当球面下落并变为蛋形时, 包围球面的立方体及其内部都经历了线性变换, 变为一个长方体"盒子". 而蛋形球体占这个"盒子"的体积比例固定不变.
-
平方反比潮汐力的几何意义: 由且仅由平方反比定律生成的潮汐力是保持体积不变的, 确切地说, 体积的加速度为零, 因此体积保持在 $$ t^2 $$ 阶不变:
- $$ \ddot{δ \mathcal{V}} = 0 $$.
-
平方反比吸引力的几何意义: 考虑一个球体, 其体积为 $$ δ \mathcal{V}
$$, 内部充满了密度为 $$ ρ $$ 的物质. 在球面外有一层测试粒子, 从静止状态解除约束, 它们就马上向中心加速飞行. 平方反比规律引起它们包围的体积向内坍缩, 向内坍缩的加速度由如下几何规律决定:- $$ \ddot{δ \mathcal{V}} = -4 π G ρ δ \mathcal{V} $$.
如果我们现在想象这个物质球体 (及其表面的测试粒子)
在地球重力场中以任意速度被发射, 就得到了这两种效应的叠加:
地球的潮汐力开始把球体变形成一个等体积的"蛋",
而球体内物质的吸引力也发挥了使其体积缩小的作用.
最终的结果是, 最初的球体演变成一个"蛋",
但其体积的收缩正比于里面物质的质量, 也正比于时间的平方.
注意: 取 $$ c = 1 $$
-
定义 $$ \begin{align} d s^2 & = d t^2 - (d x^2 + d y^2 + d z^2) \ & = [d x^0]^2 - ([d x^1]^2 + [d x^2]^2 + [d x^3]^2) \end{align} $$
- 这类似于曲面上某一点到切平面的距离. 就像切平面是平的一样, 闵可夫斯基时空也是平的, 它的黎曼张量恒为零.
-
曲面本身上相邻点之间的真实距离类似于由弯曲时空的
度量张量决定, 这个张量通常记作 $$ \mathbf{g} $$, 它接受两个向量作为输入, 并输出一个标量. 它推广了点积 (或标量积), 并且是对称的:- $$ \mathbf{g} (\mathbf{u}, \mathbf{v}) ≡ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = \mathbf{g} (\mathbf{v}, \mathbf{u}) $$.
-
就像在 $$ 2 $$ 曲面上一样, 度量构成了关于时空的最基本信息, 它定义了
距离, 而我们一旦知道了距离, 就知道了一切: 测地线, 平行移动和黎曼曲率. 如果 $$ \mathbf{ϵ} $$ 是时空中两个相邻事件之间的一个很小的 (最终为零) 连接向量, 则度量告诉我们它们之间的爱因斯坦距离:- $$ d s^2 = \mathbf{g} (\mathbf{ϵ}, \mathbf{ϵ}) $$.
- 但是回想一下, 仅当
$$ \mathbf{ϵ} $$
连接非零质量物质粒子的时空轨迹 (又称
世界线) 上的两点时, 才有 $$ d s^2 > 0 $$. 这些非零质量物质粒子只能低于光速运动, 在这种情况下, 我们说间隔是类时的 (光锥内). - 如果
$$ \mathbf{ϵ} $$
连接一条光线 (光子的世界线) 上的两点, 那么
$$ d s^2 = 0 $$,
在这种情况下, 我们说间隔是
空的 (光锥上). - 最后, 如果
$$ d s^2 < 0 $$,
我们说间隔是
类空的 (光锥外).
-
如果 $$ { \mathbf{e}_i } $$ 是任一四维度量空间的四个基向量 (不一定是标准正交的) 的集合 (称为一个四元组), 就可以求出度量张量的分量, 就像我们求得里奇张量的分量一样, 只需将张量作用于基向量对上:
- $$ g_{ij} ≡ \mathbf{g} (\mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j) = \mathbf{g} (\mathbf{e}_j, \mathbf{e}i) = g{ji} $$
- 于是
- $$ \begin{align} d s^2 & = \mathbf{g} (\mathbf{ϵ}, \mathbf{ϵ}) \ & = \mathbf{g} (d x^i \mathbf{e}_i, d x^j \mathbf{e}_j) \ & = \mathbf{g} (\mathbf{e}_i, \mathbf{e}j) d x^i d x^j \ & = g{ij} d x^i d x^j \end{align} $$
- 例如, 在闵可夫斯基时空中,
$$ g_{00} = +1 $$
且
$$ g_{11} = g_{22} = g_{33} = -1
$$, 当 $$ i ≠ j $$ 时 $$ g_{ij} = 0$$. 但是, 在一般情况下, $$ g_{ij} $$ 是时空内的函数, 而且当 $$ i ≠ j $$ 时 $$ g_{ij} ≠ 0 $$. - 重要的是要认识到, 即使在平坦的闵可夫斯基时空中, 这些分量看起来也会有很大的不同, 这取决于坐标系的选择.
时空中的零锥 (光锥).
时间由竖直方向表示, (三个中的) 两个空间方向用正交的水平方向表示.
一束光线从时空中的一个事件发射出来,
它在时刻 t 扩张成的光球面用它的圆周截线表示.
所以, 这束光线的整个未来用一个锥面表示, 光子的世界线是这个锥面的空母线.
物质粒子在这个锥面内沿类时世界线运动, 运动的速率低于光速.
一个粒子的世界线的切向量称为这个粒子的 4 速度.
一个静止的粒子有一个非零的 4 速度: 它直指时间轴!
注意, 大质量粒子的 4 速度是可以规范化的,
就像我们总是假设粒子在二维曲面内以单位速率运动一样.
但这对于光子的 4 速度而言是不可能的, 因为光子的 4 速度的"长度"总是为零.
-
现在我们借助正交四元组. 设 $$ e_0 = \mathbf{v} $$ 的方向与 (竖直的) 时间轴一致, $$ e_1 $$ 和 $$ e_2 $$ 张成的平面平行于地球表面, $$ e_3 $$ 沿地球的引力场方向径向向外.
- 从 $$ 3 $$ 流形到 $$ 4 $$ 流形的推广就是, 时空中在包含 $$ e_0 = \mathbf{v} $$ 的所有平面的截面曲率的平均 $$ \mathcal{K}_{mean} $$ 可以通过求包含 $$ e_0 = \mathbf{v} $$ 的这三个正交平面的截面曲率的平均值得到:
- $$ Π_1 ≡ Π(e_0, e_1)
$$, $$ Π_2 ≡ Π(e_0, e_2)$$, $$ Π_3 ≡ Π(e_0, e_3) $$. - 因此
- $$ \begin{align} \mathcal{K}{mean} & = \frac{ \mathcal{K} (Π_1) + \mathcal{K} (Π_2) + \mathcal{K} (Π_3) }{3} \ & = \frac{1}{3} \mbox{Ricci} (e_0, e_0) \ & = \frac{1}{3} R{00} \ \end{align} $$
- 值得关注的是, 从几何角度来看, 从牛顿的平方反比潮汐力发展到爱因斯坦的弯曲时空的过程是非常顺畅的!
-
牛顿的平方反比潮汐力的特征是它保持体积不变, 同时体积的加速度由里奇曲率控制. 结合这两个结果, 我们发现
- $$ \mbox{Ricci} (\mathbf{v}, \mathbf{v}) δ \mathcal{V} = - \ddot{δ \mathcal{V}} = 0 $$.
- 更明确地,
- $$ \begin{align} R_{00} & = \mathcal{K} (Π_1) + \mathcal{K} (Π_2) + \mathcal{K} (Π_3) \ & = \mathcal{K}{+} + \mathcal{K}{+} + \mathcal{K}_{-} \ & = \frac{GM}{r^3} + \frac{GM}{r^3} - \frac{2GM}{r^3} \ \end{align} $$
- 所以 $$ R_{00} = 0 $$.
-
我们在这里假设粒子排列成的球面从静止开始下落, 使得 $$ \mathbf{v} = e_0 $$ 是一个沿时间轴完全竖直的 $$ 4 $$ 速度.
- 但我们知道, 不论以何速度发射球面, 牛顿潮汐力保持体积不变的特征都成立, 因此式 $$ \mbox{Ricci} (\mathbf{v}, \mathbf{v}) δ \mathcal{V} = - \ddot{δ \mathcal{V}} = 0 $$ 对于任意类时 $$ 4 $$ 速度 $$ \mathbf{v} $$ 都成立.
-
推导爱因斯坦真空场方程的最后一步取决于里奇张量 Ricci 的对称性:
- $$ \mbox{Ricci} (\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mbox{Ricci} (\mathbf{y}, \mathbf{x}) $$.
- 令
$$ \mathbf{v} = \mathbf{x} + \mathbf{y}
$$, 其中 $$ \mathbf{x} $$ 和 $$ \mathbf{y} $$ 是任意类时向量, 则 - $$ \begin{align} 0 & = \mbox{Ricci} (\mathbf{v}, \mathbf{v}) \ & = \mbox{Ricci} ( [\mathbf{x} + \mathbf{y}], [\mathbf{x} + \mathbf{y}] ) \ & = \mbox{Ricci} (\mathbf{x}, \mathbf{x}) + \mbox{Ricci} (\mathbf{x}, \mathbf{y}) + \mbox{Ricci} (\mathbf{y}, \mathbf{x}) + \mbox{Ricci} (\mathbf{y}, \mathbf{y}) \ & = 0 + \mbox{Ricci} (\mathbf{x}, \mathbf{y}) + \mbox{Ricci} (\mathbf{y}, \mathbf{x}) + 0 \ & = 2 \mbox{Ricci} (\mathbf{x}, \mathbf{y}) \ \end{align} $$
-
于是, 我们就得到爱因斯坦真空场方程:
- $$ \mbox{Ricci} = 0 \Longleftrightarrow R_{ik} = 0 $$.
- 不要忘记这个方程的出处和含义: 在真空中, 为了使潮汐力保持体积不变, 正截面曲率必须正好与负截面曲率抵消, 以便达到完全平衡.
虽然里奇曲率在真空中恒为零,
但这只是正截面曲率和负截面曲率导致体积缩小效果的平均值.
黎曼张量本身一般不会为零.
一般来说, 可以将黎曼曲率分割成体积缩小的里奇部分,
加上一个纯潮汐的, 保持体积不变的部分, 称为外尔曲率.
我们习惯于认为电磁波 (比如我们赖以看到世界的光) 是在空间中传播的光子.
引力波是一种完全不同的东西: 它们是时空弯曲结构本身的涟漪!
但并非所有的涟漪都能被检测到, 就像施瓦氏解一样,
必须满足爱因斯坦真空场方程才行. 只有剧烈事件产生足够大的潮汐力,
这种潮汐力引起的振荡以光速穿越空间 (只是空间!) 到达地球,
我们才有可能检测到.
当引力波穿过由粒子在一个固定位置排列成的球面时,
它对间隔平行于波的传播方向的粒子没有影响.
但在与波传播方向正交的平面上, 它会引起振荡, 潮汐, 蛋形变形:
在一个方向上拉伸粒子排列成的球面, 在其正交方向上压缩它.
(在与波传播方向正交的平面上, 半波长后,
波的潮汐力场反转, 拉伸方向与原来的拉伸方向正交.)
引力波的潮汐力场与地球上方真空中潮汐力场的性质不同,
主要体现在以下两个方面.
首先, 引力波在一个方向上拉伸, 在另一个正交方向上压缩,
而地球的潮汐力场则在平行于地球表面的两个正交方向上压缩.
其次, 爱因斯坦真空场方程告诉我们,
平行于地球表面的平面内任意两个正交方向上的正曲率,
一定与地球引力场径向方向上的负曲率完全抵消.
因此, 这两个正曲率的大小一定各为径向负曲率大小的一半.
但在引力波的情况下, 传播方向上的曲率为零.
爱因斯坦方程告诉我们, 剩下的两个曲率必须相互抵消,
因此必须具有同等的大小.
-
如果体积 $$ δ \mathcal{V} $$ 中充满密度为 $$ ρ $$ 的物质, 根据牛顿定律, 体积缩小的加速度由几何规律给出, 而在时空环境下, 这个加速度由截面曲率 (里奇曲率公式) 的平均值来描述. 因此, 结合这些结果, 我们发现
- $$ \mbox{Ricci} (\mathbf{v}, \mathbf{v}) δ \mathcal{V} = - \ddot{δ \mathcal{V}} = 4 \pi G ρ δ \mathcal{V} $$,
- 所以 $$ \mbox{Ricci} (\mathbf{v}, \mathbf{v}) = 4 \pi G ρ $$.
-
为了取得进一步的进展, 我们必须用张量来表示这个方程的右边, 因为在狭义相对论和广义相对论中都是用张量描述物质和能量的. 和里奇张量一样, 这个新的张量 (记作 $$ T $$) 以两个向量作为输入, 输出一个标量. 它被称为
能量-动量张量, 也被普遍称为应力-能量张量. 像里奇张量一样, 它也是对称的:- $$ T(w, v) = T(v, w) \Leftrightarrow T_{ki} = T_{ik} $$.
-
对于我们来说, $$ T $$ 的关键特征是, 对于看到一个 (归一化) $$ 4 $$ 速度 $$ v $$ 的观察者, 物质和能量的总密度是
- $$ T(v, v) = ρ_{质量} + ρ_{能量} ≡ ρ_{总} $$.
-
回忆一下, 爱因斯坦已经发现物质和能量是等价的, 所以它们都能引起时空弯曲.
- 例如, 麦克斯韦发现: 电磁场具有的能量密度正比于
$$ |E|^2 + |B|^2
$$, 其中 $$ E $$ 是电场, $$ B $$ 是磁场. - 这种电磁能量就像行星一样也会扭曲时空.
要得到完整的
能量-动量张量, 还必须加上其他场.
- 例如, 麦克斯韦发现: 电磁场具有的能量密度正比于
$$ |E|^2 + |B|^2
-
因此, 考虑到这些相对论效应, 可得
- $$ \mbox{Ricci}(v, v) = 4πG ρ_{总} = 4πG T(v, v) $$.
- 注意, 为了以后的比较, 我们使用与之前相同的四元组, 有 $$ v = e_0 $$, 则
- $$ R_{00} = 4πG ρ_{总} $$.
-
但是, 如果 $$ v $$ 是任意类时向量, 则式 $$ \mbox{Ricci}(v, v) = 4πG ρ_{总} = 4πG T(v, v) $$ 为真. 所以, 用和之前一样的技巧, 令 $$ v = x + y
$$, 并利用 $$ T $$ 的对称性, 我们就可以推导出- $$ \mbox{Ricci} = 4πGT \Leftrightarrow R_{ik} = 4πG T_{ik} $$.
- 实际上, 这是爱因斯坦的场方程的最初方案 (始于 1913 年). 当然, 如果 $$ T = 0 $$, 那么它可以简化成 (物理上正确的) 真空场方程.
-
结果, 为了恢复能量守恒, 几乎只依赖微分比安基恒等式就能决定必须对式 $$ \mbox{Ricci} = 4πGT \Leftrightarrow R_{ik} = 4πG T_{ik} $$ 进行什么修正. 为了进行修正, 我们引入
能量-动量张量的迹:- $$ T ≡ T^m_m = ρ_{总} - (P_1 + P_2 + P_3) $$,
- 其中
$$ P_1
$$, $$ P_2$$, $$ P_3 $$ 是物质内部在三个正交空间方向 $$ e_1$$, $$ e_2$$, $$ e_3 $$ 上的压强. 注意, 虽然压强和密度看起来可能是非常不同的概念, 但它们之间有如下联系: - $$ 压强 = \frac{力}{面积} = \frac{力 \times 距离}{体积} = \frac{能量}{体积} = \frac{质量}{体积} = 密度 $$.
- 现在, 我们就来陈述爱因斯坦场方程正确的最终形式:
- $$ \mbox{Ricci} = 8πG [T - \frac{1}{2} Tg] \Longleftrightarrow R_{ik} = 8πG [T_{ik} - \frac{1}{2} T g_{ik}] $$.
-
我们注意到, 在几乎所有关于广义相对论的文章中, 这个方程都不是这样写的. 然而, 1915 年 11 月 25 日, 爱因斯坦自己最初写下方程就是这样的! 这个方程在数学上等价的标准形式如下:
- $$ \mbox{Ricci} - \frac{1}{2} R \mathbf{g} = 8πG \mathbf{T} \Longleftrightarrow R_{ik} - \frac{1}{2} R g_{ik} = 8πG T_{ik} $$,
- 其中 $$ R = R^m_m $$ 是 $$ \mbox{Ricci} $$ 的迹, 称为标量曲率. 左边的张量为
- $$ \mathbf{G} ≡ \mbox{Ricci} - \frac{1}{2} R \mathbf{g} $$,
- 称为爱因斯坦张量. 这个符号引出了 (到目前为止) 最常见的爱因斯坦方程的写法:
- $$ \mathbf{G} = 8πG \mathbf{T} $$.
-
最初的方程 $$ \mbox{Ricci} = 4πG \mathbf{T} \Leftrightarrow R_{ik} = 4πG T_{ik} $$ 是根据牛顿的平方反比定律通过几何推理自然得出的, 似乎与最终的爱因斯坦场方程明显不同. 但事实上, 它们的差别很小. 我们可以看到, 爱因斯坦方程只对最初的牛顿方程增加了一个物理的修正项, 而这个修正项在正常情况下是非常小的.
- 为了看出这一点, 再次选择时间轴沿着观察者的
$$ 4 $$
速度:
$$ e_0 = v
$$. 然后, 由于 $$ g_{00} = 1 $$, 我们发现 - $$ \begin{align} R_{00} & = 8πG [T_{00} - \frac{1}{2} T g_{00}] \ & = 8πG [ρ_{总} - \frac{1}{2} { ρ_{总} - (P_1 + P_2 + P_3) }] \ \end{align} $$
- 所以 $$ R_{00} = 4πG (ρ_{总} + P_1 + P_2 + P_3) $$.
- 为了看出这一点, 再次选择时间轴沿着观察者的
$$ 4 $$
速度:
$$ e_0 = v
-
与最初的牛顿方程 $$ R_{00} = 4πG ρ_{总} $$ 相比, 我们看到爱因斯坦方程的不同之处
仅仅在于增加了三个压力项, 而对于正常情况下的物质来说, 这些项与质量/能量项 ($$ ρ_{总} $$) 相比起来很小. -
重要的是要记住里奇张量的重要性, 以及式 $$ R_{00} = 4πG (ρ_{总} + P_1 + P_2 + P_3) $$, 它告诉我们
时空曲率的体积压缩效应. 我们终于得到了几何形式的爱因斯坦场方程:- $$ \ddot{δ \mathcal{V}} = - R_{00} δ \mathcal{V} = - 4πG (ρ_{总} + P_1 + P_2 + P_3) $$.
-
黑洞的诞生: 超新星核的引力坍缩.
爱因斯坦的场方程告诉我们, 一个质量足够大的核的坍缩将达到一种不可逆转的情况:
引力将无情地将整个核挤压成一个密度无穷大, 潮汐力无穷大的点
($$ r = 0 $$),
称为
时空奇点; 剩下的是一个纯净的真空引力场.- 如果从正在坍缩的核的中心足够早地发射出一束闪光, 它就能逃离引力场. 然后, 会出现一个关键时刻: 从中心发出的闪光光球起初膨胀, 然后速度变慢, 最终悬停在施瓦氏半径 $$ r_S = 2GM / c^2 $$ 上.
- 这个悬停的光球面就是
事件视界, 它的内部是一个黑洞: 一旦形成, 任何物质或信息都不可能逃离这个区域. 零锥与视界相切, 因此它们允许物质和光向内通过, 但从不向外通过, 因为物质总是在零锥内部传播.
形式是埃利·嘉当在 1900 年前后发现的.
嘉当思想异常深邃, 见解独到, 涉猎广泛.
为了完全发挥形式的威力, 他甚至又花费了 40 年时间.
1 形式是输入一个向量的线性实值函数.
"1" 表示输入一个向量; 稍后我们会遇到以两个向量作为输入的 2 形式,
以三个向量作为输入的 3 形式, 等等.
因此 1 形式是一种特别简单的张量.
较早的文献称这个概念为协变向量, 或者余向量.
较早的文献: 外尔, 彭罗斯~
- 更明确地说, 如果
$$ k_1 $$
和
$$ k_2 $$
是任意常数,
$$ v_1 $$
和
$$ v_2 $$
是任意向量, 那么
- $$ ω $$ 是 1 形式 $$ \Longleftrightarrow ω(k_1 v_1 + k_2 v_2) = k_1 ω(v_1) + k_2 ω(v_2) $$.
- 在验证一个特定的 $$ ω $$ 是否是 1 形式时, 从概念上讲, 将这个单一的条件分解为两个更简单的条件会更方便一些:
- $$ ω(v_1 + v_2) = ω(v_1) + ω(v_2)
$$, 和 $$ ω(kv) = kω(v) $$.
所有 1 形式的集合对于加法和数乘运算是封闭的, 因此构成了所谓的向量空间.
这个 1 形式的向量空间被认为是它所作用的向量空间的对偶.
使用这个术语的原因是, 这两个空间之间存在一种对称关系:
我们也可以把向量空间看作 1 形式空间的"对偶".
- 为了了解这种对称性, 让我们把向量
$$ v $$
看成一个作用于 1 形式
$$ ω $$
的函数, 这个作用的定义为
- $$ v(ω) ≡ ω(v) $$.
- 向量和 1 形式这种对称的彼此作用通常也称为向量和
1 形式的
缩并, 有时也表示为 $$ \langle ω, v \rangle $$, 以强调两种对象的平等地位. - 由此可以得出向量 $$ v $$ 是 1 形式的线性函数:
- $$ \begin{align} v(ω + φ) & = (ω + φ)(v) \ & = ω(v) + φ(v) \ & = v(ω) + v(φ) \end{align} $$
- 且 $$ v(kω) = kω(v) = kv(ω) $$.
例子: 引力做功, 沿某一方向穿过引力等势面 (平面堆积)
- 在点
$$ p $$
处,
$$ ω $$
的代表性曲面
$$ S $$
定义为:
$$ S $$
在点
$$ p $$
处的切向量都满足
$$ ω(v) = 0
$$, 对应于被穿过的曲面数量为 $$ 0 $$.- 用线性代数的语言来说,
$$ S $$
的切向量集合满足
$$ ω(v) = 0
$$, 因此它们构成 $$ ω $$ 的核. - 一般来说, 只能用这种方式将一个点的 1 形式场表示为
平面堆积. - 在 $$ \mathbb{R}^3 $$ 空间中, 满足 $$ ω(v) = 0 $$ 的向量集合张成一个二维平面, 而在 $$ n $$ 维空间中, $$ ω $$ 的核要用一个 $$ n - 1 $$ 维空间来表示.
- 用线性代数的语言来说,
$$ S $$
的切向量集合满足
$$ ω(v) = 0
例子: 梯度 1 形式
-
如果我们将狄拉克右矢 $$ \mid v \rangle $$ (即量子态) 视为"向量", 而将狄拉克左矢 $$ \langle ω \mid $$ 视为 1 形式, 就可以将 1 形式和向量的缩并定义为标准的 (复数) 内积:
- $$ ω(v) ≡ \langle ω \mid v \rangle $$.
-
在 $$ n $$ 流形上的一个点 $$ p $$ 处, 我们选择切空间 $$ T_p $$ 的一个基底 $$ { e_j }
$$, 用爱因斯坦求和约定, 就可以将一般向量写成 $$ v = v^j e_j $$.- 我们不假设这个基底是正交的. 在点
$$ p $$
处有一个由 1 形式组成的空间
$$ T_p^{} $$,
有了
$$ { e_j } $$
这个基底, 就有一种自然的方法将
$$ { e_j } $$
与空间
$$ T_p^{} $$
的一组基底
$$ { ω^i } $$
(称为
$$ { e_j } $$
的
对偶基) 联系起来: - $$ ω^i $$ 选出 $$ v $$ 的第 $$ i $$ 个分量 $$ \Longleftrightarrow ω^i (v) = v^i $$.
- 两个向量和的第
$$ i $$
个分量就是两个向量第
$$ i $$
个分量的和, 向量
$$ kv $$
的第
$$ i $$
个分量是
$$ k v^i
$$, 这就证明了这些 $$ { ω^i } $$ 的确就是 1 形式.
- 我们不假设这个基底是正交的. 在点
$$ p $$
处有一个由 1 形式组成的空间
$$ T_p^{} $$,
有了
$$ { e_j } $$
这个基底, 就有一种自然的方法将
$$ { e_j } $$
与空间
$$ T_p^{} $$
的一组基底
$$ { ω^i } $$
(称为
$$ { e_j } $$
的
-
让我们把如下常见的误解消灭在萌芽状态. 因为基底 1 形式的集合 $$ { ω^1, ω^2 } $$ 是基向量的集合 $$ { e_1, e_2 } $$ 的对偶, 所以 $$ ω^1 $$ 是 $$ e_1 $$ 的对偶, 而且 $$ ω^2 $$ 是 $$ e_2 $$ 的对偶:
- 这是完全错误的. 在一般的 $$ n $$ 维情况下, 改变一个基底向量可以改变 1 形式的整个对偶基底.
-
克罗内克符号:
- $$ δ^i_j ≡ \begin{cases} 1, & \mbox{ 若 } i = j, \ 0, & \mbox{ 若 } i ≠ j. \end{cases} $$
- 基底 $$ { ω^i } $$ 的等价定义:
- $$ ω^i (e_j) = δ^i_j \Longleftrightarrow ω^i (v) = v^i $$.
-
令一般的 1 形式 $$ φ $$ 作用于 $$ v $$ 为
- $$ φ(v) = φ(v^j e_j) = v^j φ(e_j) = ω^j (v) φ(e_j) $$.
- 我们现在定义
$$ φ $$
的分量
$$ φ_j
$$: $$ φ_j ≡ φ(e_j) $$. - 于是 $$ φ(v) = φ_j ω^j (v) $$.
-
但因为我们是利用 1 形式对一般向量的作用来定义它的, 可以将方程两边的向量 $$ v $$ "抽出来", 从而得到 1 形式自身的相等关系. 而且, 这样就将任意一个 1 形式 $$ φ $$ 分解为它在基底 1 形式 $$ { ω^j } $$ 中独特的分量形式, 其中 $$ { ω^j } $$ 是向量基 $$ { e_j } $$ 的对偶基, 所以
- $$ φ = φ_j ω^j = φ(e_j) ω^j $$.
-
回顾向量微积分, 在 $$ \mathbb{R}^2 $$ 中一个函数 $$ f $$ 的梯度被定义为向量
- $$ \nabla f ≡ \begin{bmatrix} \partial_{x} f \ \partial_{y} f \end{bmatrix} $$.
- 这个向量的意义是 $$ \nabla f $$ 指向 $$ f $$ 增加最快的方向, 其大小 $$ | \nabla f | $$ 等于我们沿这个方向移动时 $$ f $$ 的最大增加率.
陶哲轩实分析 (下), 方向导数.
-
这种解释来自一个更原始的事实, 函数 $$ f $$ 的梯度 1 形式 $$ \mathbf{d} f $$ 是由它对向量的作用来定义的:
- $$ \mathbf{d} f(v) ≡ \nabla_v f $$.
- 加粗的
$$ \mathbf{d} $$
算子称为
外导数, 它将在后面的讨论中发挥核心作用. - 注意到求导算子 $$ \nabla_v $$ 服从莱布尼茨法则 (又名乘积公式法则), 所以外导数也服从
- $$ \mathbf{d} (fg) = f \mathbf{d} g + g \mathbf{d} f $$.
-
显然, 所有这些都可以直接推广到任意维度. 设 $$ { e_i } $$ 是 $$ \mathbb{R}^n $$ 的一个标准正交基底, 其直角坐标为 $$ { x^j }
$$, 因此 $$ v = v^i e_i $$ 是一个一般向量, 而 $$ d x^j $$ 决定其第 $$ j $$ 个分量, 即 $$ (d x^j) v = v^j $$.- 特别是, $$ (d x^i) e_j = δ_j^i $$.
- 我们称之为
笛卡儿基: $$ { d x^j } = { ω^j } $$ 是对偶于 $$ { e_j } $$ 的 1 形式笛卡儿基. - 可以将一个一般的 1 形式 $$ φ $$ 分解成在这个对偶基中的分量, 它们为
- $$ φ = φ_j ω^j = φ(e_j) d x^j $$.
梯度: 协变
- 取
$$ φ = df
$$, 我们回到最初的定义, 将一般函数 $$ f $$ 的梯度 1 形式 $$ df $$ 分解为它的 1 形式笛卡儿基的分量, 如下所示:- $$ df = [(df) e_j] d x^j = [\partial_{x^j} f] d x^j $$.
- 在形式上, 这与经典公式是相同的, 但现在它有了精确, 严格的含义, 不需要用到无穷小. 然而, 它与几何意义上的最终相等有着非常直接和直观的联系.
在讨论黎曼张量时, 我们初步地将一个张量定义为输入多个向量的多重线性函数.
因为缺乏 1 形式的概念, 这是我们当时所能做到的最好情况.
但一个完全一般的张量, 实际上是向量和 1 形式的多重线性函数,
它的阶告诉我们要输入多少个向量和多少个 1 形式:
-
一个在点 $$ p $$ 处的 $$ \begin{Bmatrix} f \ v \end{Bmatrix} $$ 阶张量 $$ H $$ 是输入 $$ f $$ 个 1 形式和 $$ v $$ 个向量的实值多重线性函数, 使得 $$ H $$ 在点 $$ p $$ 处的值只依赖于这些 1 形式和向量在点 $$ p $$ 处的值.
- 或称为 $$ f $$ 阶协变 $$ + $$ $$ v $$ 阶逆变的张量, 简称为 $$ f + v $$ 阶张量.
-
所以, 一个 1 形式就是一个阶为 $$ \begin{Bmatrix} 0 \ 1 \end{Bmatrix} $$ 的张量, 因为它只有一个输入空位容许填入一个向量, 它的输出是填入的向量与这个 1 形式的缩并. 同样, 一个向量就是一个阶为 $$ \begin{Bmatrix} 1 \ 0 \end{Bmatrix} $$ 的张量, 因为它只有一个输入空位容许填入一个 1 形式, 它的输出是填入的 1 形式与这个向量的缩并.
- 一般情况下, 我们可以将
$$ H $$
的输入空位分成两组: 第一组的
$$ f $$
个空位输入
$$ f $$
个 1 形式
$$ φ_1
$$, ..., $$ φ_f$$, 第二组的 $$ v $$ 个空位输入 $$ v $$ 个向量 $$ v_1$$, ..., $$ v_v$$. 利用记号 $$ | $$ 表示这两组之间的界线, 于是有 - $$ H(φ_1, ..., φ_f | v_1, ..., v_v) $$.
- 一般来说, 我们在这些空位中输入 1 形式和向量的顺序很重要: 如果在这些空位中交换一对 1 形式或一对向量, 输出常常与最初的值完全无关.
- 一般情况下, 我们可以将
$$ H $$
的输入空位分成两组: 第一组的
$$ f $$
个空位输入
$$ f $$
个 1 形式
$$ φ_1
比其它书籍更显言简意赅~
-
给定两个 1 形式 $$ φ $$ 和 $$ ψ $$, 它们各自可以作用于一个单一的向量, 自然可以定义它们的
张量积为一个作用于两个向量的张量, 即一个阶为 $$ \begin{Bmatrix} 0 \ 2 \end{Bmatrix} $$ 的张量, 如下所示:- $$ (φ \otimes ψ) (v, w) ≡ φ(v) ψ(w) $$.
- 注意这里的次序很重要: $$ φ \otimes ψ ≠ ψ \otimes φ $$.
- 关于术语的注释: 张量积常常也称为直积或外积.
-
同样可以定义更高阶张量的张量积. 例如, 我们可以将一个阶为 $$ \begin{Bmatrix} 2 \ 1 \end{Bmatrix} $$ 的张量 $$ J(φ, ψ \parallel u) $$ 乘以一个阶为 $$ \begin{Bmatrix} 0 \ 2 \end{Bmatrix} $$ 的张量 $$ T(v, w)
$$, 得到阶为 $$ \begin{Bmatrix} 2 \ 3 \end{Bmatrix} $$ 的张量 $$ J \otimes T $$:- $$ (J \otimes T) (φ, ψ \parallel u, v, w) ≡ J(φ, ψ \parallel u) \cdot T(v, w) $$.
-
和通常一样, 设 $$ { \mathbf{e}_i } $$ 是一个标准正交向量基, 设 $$ { \mathbf{d} x^j } $$ 是 1 形式的对偶笛卡儿基. 就像我们得到向量和 1 形式的分量一样, 可以把基底的 1 形式和向量填入它的空位来得到一个更一般的张量的分量.
- 例如,
$$ \mathbf{T} (\mathbf{v}, \mathbf{w}) $$
的分量是
$$ T_{ij} = \mathbf{T} (\mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j)
$$. 我们可以将整个张量 $$ \mathbf{T} $$ 分解为张量分量, 如下所示: - $$ \begin{align} \mathbf{T} (\mathbf{v}, \mathbf{w}) & = \mathbf{T} (v^i \mathbf{e}_i, w^j \mathbf{e}j) \ & = \mathbf{T} (\mathbf{e}i, \mathbf{e}j) v^i w^j \ & = T{ij} v^i w^j \ & = T{ij} [\mathbf{d} x^i (\mathbf{v})] [\mathbf{d} x^j (\mathbf{w})] \ & = T{ij} (\mathbf{d} x^i \otimes \mathbf{d} x^j) (\mathbf{v}, \mathbf{w}) \end{align} $$.
- 因为 $$ \mathbf{v} $$ 和 $$ \mathbf{w} $$ 都是一般的向量, 所以可以将它们抽出来, 于是这个张量可以表示为
- $$ \mathbf{T} = T_{ij} (\mathbf{d} x^i \otimes \mathbf{d} x^j) $$.
- 由此可知: 由张量 $$ (\mathbf{d} x^i \otimes \mathbf{d} x^j) $$ 组成的集合形成 $$ \begin{Bmatrix} 0 \ 2 \end{Bmatrix} $$ 阶张量的基底.
- 例如,
$$ \mathbf{T} (\mathbf{v}, \mathbf{w}) $$
的分量是
$$ T_{ij} = \mathbf{T} (\mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j)
-
用同样的方式, 我们可以得到两个向量的张量积:
- $$ (v \otimes w) (φ, ψ) = v(φ) w(ψ) = v^i w^j (e_i \otimes e_j) (φ, ψ) $$.
- 同样, 一个阶为 $$ \begin{Bmatrix} 2 \ 0 \end{Bmatrix} $$ 的张量 $$ K(φ, ψ) $$ 可以在张量基里分解为
- $$ K = K^{ij} (e_i \otimes e_j) $$.
- 显然, 这个方法适用于任意阶 $$ \begin{Bmatrix} f \ v \end{Bmatrix} $$ 的张量, 可以用张量基分解出它们的分量:
- $$ (e_{i_1} \otimes e_{i_2} \otimes ... \otimes e_{i_f}) \otimes (d x^{j_1} \otimes d x^{j_2} \otimes ... \otimes d x^{j_v}) $$.
- 注意, 一个阶为 $$ \begin{Bmatrix} f \ v \end{Bmatrix} $$ 的张量具有 $$ f $$ 个上标, $$ v $$ 个下标.
- 在过去的文献中, 上标称为逆变的 (或反变的), 下标称为协变的 (或共变的).
过去的文献: 上标称为逆变, 下标称为协变
注: 关于 $$ f
$$, $$ v $$, 注意张量基和输入的对应关系~
- 缩并的思想适用于至少输入一个 1 形式和一个向量的任意张量:
将一个上标和一个下标加起来. 缩并运算一般会消除一个上标和一个下标,
所以缩并后新张量的输入空位要减少一个 1 形式和一个向量的输入.
- 事实上, 缩并在张量积运算中还有更广的意义. 我们首先做一个
$$ A \otimes B
$$, 然后对 $$ A $$ 的一个上标和 $$ B $$ 的一个下标求和. - 这样得到的结果是一个新的张量, 而且与生成求和分量的向量基 $$ { e_j } $$ 和 1 形式基 $$ { d x^i } $$ 无关.
- 事实上, 缩并在张量积运算中还有更广的意义. 我们首先做一个
$$ A \otimes B
-
我们已经知道阶为 $$ \begin{Bmatrix} 0 \ 2 \end{Bmatrix} $$ 的度量张量 $$ \mathbf{g} $$ 是流形的基本结构: 它为我们提供测地线, 平行移动和曲率的信息. 此外, $$ \mathbf{g} $$ 还扮演一个重要的角色: 我们可以借助它来改变张量的阶.
- 先来看看如何用度量张量将一个特定的 1 形式变换成一个特定的向量, 以及反过来的变换.
-
关于记号的注释: 按照通常的约定, 1 形式对应于向量 $$ \mathbf{n} $$ 的分量表示为 $$ n_i $$, 但是这违反了我们用希腊字母表示 1 形式和用罗马字母表示向量的二分法. 因此, 必须比以前更加仔细地注意:
- 如果一个字母的指标是上标, 那么它就表示一个向量; 如果是下标, 那么它就表示一个 1 形式.
注: 这里说的是分量, 基底则相反~
- 如果我们让
$$ \mathbf{g} $$
的一个空位空着, 在另一个空位中填入一个向量
$$ \mathbf{n}
$$, 就得到了对应于 $$ \mathbf{n} $$ 的唯一一个 1 形式 $$ \mathbf{v} $$:- 向量
$$ \mathbf{n} \to $$
1 形式
$$ \mathbf{v}
$$, 其中 $$ \mathbf{v} (\mathbf{w}) ≡ \mathbf{g} (\mathbf{w}, \mathbf{n}) $$. - 那么, 1 形式 $$ \mathbf{v} $$ 的分量与原向量 $$ \mathbf{n} $$ 的分量有什么样的关系呢? 我们只需要将 $$ \mathbf{v} $$ 作用于基向量:
- 按照约定, $$ \mathbf{v} = n_i \mathbf{d} x^i $$.
- 于是 $$ n_i = \mathbf{v}(\mathbf{e}_i) = \mathbf{g} (\mathbf{e}_i, \mathbf{n}) = \mathbf{g} (\mathbf{e}_i, n^j \mathbf{e}_j) = \mathbf{g} (\mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j) n^j $$,
- 所以 $$ n_i = g_{ij} n^j $$.
- 向量
$$ \mathbf{n} \to $$
1 形式
$$ \mathbf{v}
最简例子
-
利用度量张量可以将一个向量转换成 1 形式, 也可以改变任意一个张量的阶. 例如, 考虑阶为 $$ \begin{Bmatrix} 1 \ 3 \end{Bmatrix} $$ 的黎曼张量 $$ R(ψ | u, v, w)
$$, 其分量为 $$ R_{ijk}^{m} $$.- 我们来演示如何将它变成阶为
$$
\begin{Bmatrix}
0 \
4
\end{Bmatrix}
$$
的张量, 方法是将输入的 1 形式变成向量.
按照惯例, 这个新张量仍然记作
$$ R
$$, 它的分量记作 $$ R_{ijkl} $$.
- 我们来演示如何将它变成阶为
$$
\begin{Bmatrix}
0 \
4
\end{Bmatrix}
$$
的张量, 方法是将输入的 1 形式变成向量.
按照惯例, 这个新张量仍然记作
$$ R
-
为了用四个向量输入来计算新张量, 我们只需将额外的输入向量 $$ n $$ 替换为黎曼张量最初定义中相应的 1 形式 $$ v $$:
- $$ R(u, v, w, n) ≡ R(v | u, v, w) $$.
- 这个方程的分量形式为
- $$ R_{ijkl} u^i v^j w^k n^l = R_{ijk}^{m} u^i v^j w^k n_m = R_{ijk}^{m} u^i v^j w^k (g_{ml} n^l) $$.
- 所以, $$ R_{ijkl} = R_{ijk}^{m} g_{ml} $$.
- 这个过程 (相当符合逻辑地) 称为
指标下降.
-
这个过程也可以反向进行, 将输入的向量转换为 1 形式, 这将导致
指标上升. 为了像之前那样进行, 我们需要一个从 1 形式 $$ v $$ 到向量 $$ n $$ 的映射. 这就需要一个类似于度量张量的东西 $$ \tilde{g}$$, 一个阶为 $$ \begin{Bmatrix} 2 \ 0 \end{Bmatrix} $$, 输入为两个 1 形式的张量.- 这个映射和前面的完全一样, 在一个空位填入 $$ v $$, 而让另一个空位空着, 这样就得到了一个向量:
- 1 形式
$$ v \longrightarrow $$
向量
$$ n
$$, 其中 $$ n(φ) ≡ \tilde{g} (φ, v) $$. - 它的分量形式为 $$ n^i = \tilde{g}^{ik} n_k $$.
- 利用同样的符号, 可以将我们希望改变的任意一个张量指标上升, 例如
- $$ R_{ijkl} \tilde{g}^{km} = R_{ijl}^{m} $$.
-
最后要认识到: $$ \tilde{g} $$ 是由度量张量 $$ g $$ 唯一决定的, 为何? 且看如下所示. 指标的升和降肯定互为逆运算: 如果我们降低一个指标, 然后再提高它, 我们应该得到和开始时一样的张量.
- 换句话说, 将一个向量变换成 1 形式,
然后再变换回来, 应该会得到原向量. 也就是说,
$$ \tilde{g} $$
是
$$ g $$
的
逆: - $$ n \xrightarrow{g} v \xrightarrow{\tilde{g}} n $$.
- 进而得到
- $$ n^i = \tilde{g}^{ik} n_k = \tilde{g}^{ik} g_{kj} n^j $$.
- 因此, $$ \tilde{g} $$ 的分量与度量张量的分量有如下关系:
- $$ \tilde{g}^{ik} g_{kj} = δ^i_j $$.
- 换句话说, 将一个向量变换成 1 形式,
然后再变换回来, 应该会得到原向量. 也就是说,
$$ \tilde{g} $$
是
$$ g $$
的
-
正如我们总是使用相同的符号 $$ R $$ 来表示黎曼张量, 不管它接受多少个 1 形式和向量作为输入, 传统做法 (尽管容易混淆) 是简单地用 $$ g $$ 来代替 $$ \tilde{g}
$$, 并相应地把它的分量写成 $$ g^{ik} $$.- 因此, 式 $$ \tilde{g}^{ik} g_{kj} = δ^i_j $$ 按惯例写成 $$ g^{ik} g_{kj} = δ^i_j $$.
引言: 任意一个函数可分为对称函数 (偶函数) 与反对称函数 (奇函数) 的和
- 现在我们将这些类似的性质推广到阶为
$$
\begin{Bmatrix}
0 \
2
\end{Bmatrix}
$$
的一般张量
$$ E(v, w) $$.
类似地, 定义
对称张量$$ E^{+} $$ 和反对称张量$$ E^{-} $$ 为- $$ E^{+} (w, v) = + E^{+} (v, w) $$ 和 $$ E^{-} (w, v) = - E^{-} (v, w) $$.
- 按照前面关于函数的论证, 我们发现总能将一个阶为 $$ \begin{Bmatrix} 0 \ 2 \end{Bmatrix} $$ 的一般张量分解为一个对称部分和一个反对称部分:
- $$ E(v, w) = E^{+}(v, w) + E^{-}(v, w) $$,
- 其中 $$ E^{+}(v, w) = [ \frac{E(v, w) + E(w, v)}{2} ] $$ 和 $$ E^{-}(v, w) = [ \frac{E(v, w) - E(w, v)}{2} ] $$.
- 只要在输入空位里填入基向量, 我们就可以得到这些公式的分量形式. 对于这些分量形示, 我们引入下面的标准记号: 圆括号表示对称化, 方括号表示反对称化.
- $$ E_{(ij)} ≡ E_{ij}^{+} = \frac{1}{2} [E_{ij} + E_{ji}] $$ 和 $$ E_{[ij]} ≡ E_{ij}^{-} = \frac{1}{2} [E_{ij} - E_{ji}] $$.
- 所以, $$ E_{ij} = E_{(ij)} + E_{[ij]} $$.
-
2 形式 $$ Ψ $$ 是一个 $$ \begin{Bmatrix} 0 \ 2 \end{Bmatrix} $$ 阶的反对称张量, 即
- $$ Ψ (v, u) = -Ψ (u, v) $$.
- p 形式 (全称为
$$ p $$
次微分形式) 是一个
$$
\begin{Bmatrix}
0 \
p
\end{Bmatrix}
$$
阶的
完全反对称张量, 即交换任意两个输入向量的位置都会改变其正负号.
-
例子, 面积 2 形式. 在 $$ \mathbb{R}^2 $$ 内, 定义:
- $$ \mathcal{A} (u, v) = $$ 以 $$ u $$ 和 $$ v $$ 为边的平行四边形的有向面积, 则 $$ \mathcal{A} $$ 是一个 2 形式.
-
如果 $$ Ψ $$ 是一个一般的 2 形式, 所谓反对称性就是交换输入的两个向量的位置有 $$ Ψ(v, u) = - Ψ(u, v)
$$, 所以对于任意的 $$ u $$ 都有 $$ Ψ(u, u) = 0 $$.- 对于面积 2 形式的情况, 这个等式的几何意义是显然的:
- 如果将
$$ \mathcal{A} (u, v) $$
的
$$ v $$
变成
$$ u
$$, 则平行四边形收缩成一条线段, 其面积就收缩为零了, 所以我们有 $$ \mathcal{A} (u, u) = 0 $$.
注: 二形式, 输入反对称; 例子: 有向面积.
注: 楔积, 可记忆为: 张量积对易; 自身和输入的双重反对称. 例子: 笛卡尔基下的面积 2 形式~
-
这是一种新的乘法, 称为
楔积, 记为 $$ \land$$: $$ φ \land ψ ≡ φ \otimes ψ - ψ \otimes φ $$.- 就像我们可以借助张量积用低阶张量系统地构建高阶张量一样, 也可以借助楔积用低次形式构建高次形式.
-
我们强调, 使 $$ φ \land ψ $$ 变成 2 形式的原因是, 当作用于一对向量时, 它关于两个输入空位都是线性的, 并且
交换两个输入向量只是反转输出的正负号,其大小保持不变:- $$ (φ \land ψ) (v_1, v_2) = φ(v_1) ψ(v_2) - ψ(v_1) φ(v_2) =- (φ \land ψ) (v_2, v_1) $$.
- 注意: 还存在另一种反对称性, 也就是楔积本身的反对称性. 保持输入向量的顺序不变, 但是交换楔积中两个 1 形式的次序, 我们可以看到
- $$ (φ \land ψ) (v_1, v_2) =- (ψ \land φ) (v_1, v_2) $$.
- 抽出其中的输入向量, 从定义显然可以证明楔积本身也具有反对称性: $$ φ \land ψ = - (ψ \land φ) $$.
- 由此可见, 对于任意 $$ ψ $$ 有 $$ ψ \land ψ = 0 $$.
- 还可以注意到, 楔积对加法服从分配律: $$ φ \land (ψ + σ) = φ \land ψ + φ \land σ $$.
-
在 $$ \mathbb{R}^2 $$ 中, 考虑 1 形式笛卡儿基的所有可能的楔积. 因为 $$ dx \land dx = 0 $$ 和 $$ dy \land dy = 0
$$, 非零的楔积就只剩下 $$ dx \land dy = - dy \land dx $$. 事实上, 这就是面积 2 形式!- $$ \mathcal{A} = dx \land dy $$.
- 注意, 这与经典的面积表达式有惊人的相似之处:
我们做二重积分时, 将面积的元素写成
$$ dx dy
$$. 这个明显的联系服从我们之前讨论微分 $$ df $$ 和线元 $$ ds $$ 的例子中的相同模式. 如果取 $$ u = δx e_1 $$ 和 $$ v = δy e_2 $$ 作为一个小矩形的边长, 则 - $$ (dx \land dy) (u, v) = (dx \land dy) (δx e_1, δy e_2) = δx δy $$.
-
通过分量的计算, 很容易实现对式 $$ \mathcal{A} = dx \land dy $$ 的一般证明:
- $$ \begin{align} (dx \land dy) (u, v) & = (dx \otimes dy - dy \otimes dx) (\begin{bmatrix} u^1 \ u^2 \ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} v^1 \ v^2 \ \end{bmatrix}) \ & = u^1 v^2 - u^2 v^1 \ & = det \begin{bmatrix} u^1 & v^1 \ u^2 & v^2 \ \end{bmatrix} \ & = \mathcal{A} (u, v) \ \end{align} $$.
-
现在我们来描述两个一般 1 形式的楔积 $$ φ \land ψ $$ 作用于 $$ \mathbb{R}^n $$ 中向量的几何意义. 这个论证适用于任何 $$ n
$$, 但是为了说得具体一些, 我们用 $$ \mathbb{R}^3 $$ 举例说明. 在这种情况下, $$ φ $$ 和 $$ ψ $$ 都被表示为一摞平面. 它们对 $$ \mathbb{R}^3 $$ 中的向量 $$ v $$ 的作用是计算每一摞中被 $$ v $$ 穿过了多少个平面.- 接下来是一个关键的想法: 我们用 $$ φ(v) $$ 和 $$ ψ(v) $$ 这两个数作为 $$ \mathbb{R}^2 $$ 中某一点的坐标 $$ x $$ 和 $$ y $$.
- 因此, 这两个 1 形式就定义了从
$$ \mathbb{R}^3 $$
(或任意
$$ \mathbb{R}^n
$$) 中的向量到 $$ \mathbb{R}^2 $$ 中的向量的映射 $$ F $$: - $$ v \longrightarrow F(v) ≡ \begin{bmatrix} φ(v) \ ψ(v) \end{bmatrix} $$.
- 映射 $$ F $$ 将 $$ \mathbb{R}^n $$ 中以 $$ v_1 $$ 和 $$ v_2 $$ 为边的平行四边形映射为 $$ \mathbb{R}^2 $$ 中以向量 $$ F(v_1) $$ 和 $$ F(v_2) $$ 为边的平行四边形.
-
将楔积 $$ φ \land ψ $$ 应用于 $$ \mathbb{R}^n $$ 内的任意平行四边形时, 它输出的是, 映射 $$ F $$ 将这个平行四边形映射到 $$ \mathbb{R}^2 $$ 中的像平行四边形的有向面积:
- $$ (φ \land ψ) (v_1, v_2) = \mathcal{A} [F(v_1), F(v_2)] $$.
注: 上述结果在某些书籍就是
楔积的定义
-
回想一下, 张量集 $$ { d x^i \otimes d x^j } $$ 构成 $$ \begin{Bmatrix} 0 \ 2 \end{Bmatrix} $$ 阶张量的一组基, 适用于所有这些张量, 包括 2 形式. 但对于 2 形式的情况, 我们可以更进一步: 由形如 $$ d x^i \land d x^j $$ (其中 $$ i < j $$) 的 2 形式组成的集合是所有 2 形式的一个基底.
- 设置条件 $$ i < j $$ 只是为了避免列出重复的 2 形式. 例如, $$ d x^3 \land d x^2 = - (d x^2 \land d x^3) $$.
- 由于
$$ d x^i \land d x^i = 0
$$, 就可以从 $$ d x^i $$ ($$ i ≤ n $$) 中选取不同的无序对, 然后求它们的楔积, 形成非零 (非冗余) 的 2 形式基. - 那么, 在 $$ \mathbb{R}^n $$ 中, 所有 2 形式的集合是一个 $$ \frac{1}{2} n (n - 1) $$ 维的向量空间.
-
设 $$ P $$ 是 $$ \mathbb{R}^3 $$ 中的平行四边形, $$ \mathcal{A}_z $$ 是 $$ P $$ 在 $$ (x, y) $$ 平面上 (沿 $$ z $$ 轴方向) 的
正交投影, 则将 $$ (dx \land dy) $$ 作用于 $$ P $$ 的结果是 $$ \mathcal{A}_z $$ 的有向面积. -
2 形式基的几何意义. 每个 2 形式基产生 $$ P $$ 在相关坐标平面上投影的面积. 例如, $$ (dx \land dy) (v_1, v_2) = \mathcal{A}_z
$$, 是 $$ P $$ 沿 $$ z $$ 方向在 $$ (x, y) $$ 平面上投影的面积.- 另外两个 2 形式基的意义是类似的:
$$ dy \land dz $$
是投影 (沿
$$ x $$
轴方向) 在
$$ (y, z) $$
平面上的面积
$$ \mathcal{A}_x
$$; $$ dz \land dx $$ 是投影 (沿 $$ y $$ 轴方向) 在 $$ (z, x) $$ 平面上的面积 $$ \mathcal{A}_y $$.
- 另外两个 2 形式基的意义是类似的:
$$ dy \land dz $$
是投影 (沿
$$ x $$
轴方向) 在
$$ (y, z) $$
平面上的面积
$$ \mathcal{A}_x
- 在几何上, 我们当然不可能混淆 2 形式和向量.
甚至在代数上, 它们的区别也是很明显的: 在
$$ n $$
维空间中, 一个向量有
$$ n $$
个分量, 而 2 形式却有
$$ \frac{1}{2} n (n - 1) $$
个分量.
- 但这意味着, 当 $$ n = 3 $$ 时, 会发生一些不同寻常的事情: 在且仅在三维空间中, 2 形式的分量与向量的分量的数量是相同的.
三维空间中, 2 形式的分量与向量的分量的数量是相同的.
物理学家在 19 世纪 80 年代成功开创的向量微积分,
至今仍然被认为是 21 世纪现代科学不可或缺的工具.
现在可以看到, 它的基础就是这个奇异的数值巧合.
- 为了开始深入研究, 我们用单一的上标重写一般 2 形式
$$ Ψ $$
的分量, 并立即将它们与相应向量的分量等同起来.
我们将用与 2 形式相同的希腊字母表示相应向量的分量, 但加下划线:
$$ \underline{Ψ} $$,
即
- $$ Ψ = Ψ^1 (d x^2 \land d x^3) + Ψ^2 (d x^3 \land d x^1) + Ψ^3 (d x^1 \land d x^2) \leftrightarrows \underline{Ψ} = \begin{bmatrix} Ψ^1 \ Ψ^2 \ Ψ^3 \end{bmatrix} $$.
在这里, 我们将转而寻求一个符合逻辑, 令人信服的物理原因,
以这种方式将一个 2 形式与一个向量关联起来.
-
如果流体以速度 $$ \underline{Ψ} $$ 流过三维空间, 则它的通量 2 形式就是 $$ Ψ $$, 反之亦然.
-
除了利用分量将 2 形式 $$ Ψ $$ 与其相关的向量 $$ \underline{Ψ} $$ 联系起来之外, 我们还可以用几何方法确定相关向量的方向.
- 当且仅当 $$ \underline{Ψ} $$ 的方向在平行四边形 $$ P $$ 内时, $$ \underline{Ψ} $$ 通过 $$ P $$ 的通量为零, 因此可以通过通量为零来唯一地刻画流动方向:
- $$ Ψ (\underline{Ψ}, ...) = 0 $$.
-
给定一个 1 形式 $$ φ $$, 这里将再次用与 1 形式相同的字母加下划线来表示对应的向量:
- $$ φ = φ_1 d x^1 + φ_2 d x^2 + φ_3 d x^3 \leftrightarrows \underline{φ} = \begin{bmatrix} φ^1 \ φ^2 \ φ^3 \end{bmatrix} $$
-
向量微积分中的两种基本乘法是标量积 (又名点积) 和向量积 (又名叉积). 标量积很容易推广到任意维空间, 可以表示为
- $$ φ(v) = \underline{φ} \cdot v $$.
- 但是向量积是三维空间特有的.
-
实际上, 向量积并不是它看起来的那样: 它实际上是对应的 1 形式的楔积! 对这个现象的详尽解释在于前面提到的
霍奇对偶性. -
$$ \underline{φ} \times \underline{σ} \leftrightarrows φ \land σ $$.
- 我们先停下来看看它的神奇之处: 在任意维度,
我们都可以把两个向量与两个 1 形式关联起来,
然后做出两个 1 形式的楔积, 由此就产生了一个具有
$$ \frac{1}{2} n(n - 1) $$
个分量的 2 形式, 所以一般情况下它
不能被重新解释为一个向量. - 只有在三维空间中, 2 形式才能表示为向量流 $$ \underline{Ψ} $$ 的通量 2 形式 $$ Ψ $$.
- 我们先停下来看看它的神奇之处: 在任意维度,
我们都可以把两个向量与两个 1 形式关联起来,
然后做出两个 1 形式的楔积, 由此就产生了一个具有
$$ \frac{1}{2} n(n - 1) $$
个分量的 2 形式, 所以一般情况下它
三维空间中, 2 形式才能表示为向量流的通量 2 形式.
本节原书定为选读, 但是从我的角度而言, 类似章节恰是本书点睛之处.
- 从此以后, 闵可夫斯基度量都采用如下形式:
- $$ d s^2 = - d t^2 + d x^2 + d y^2 + d z^2 $$.
- 在四维时空中有几个 2 形式在物理定律中扮演着主要角色. 本节将描述其中的两个, 它们一起非常紧凑和优雅地描述了电磁定律.
让我们简单地引用爱因斯坦这篇论文开头的一段话.
众所周知, 麦克斯韦的电动力学,
就像我们现在常常理解的那样, 应用于运动物体时会导致不对称性,
而这种不对称性在这些现象中似乎并不是固有的.
例如, 设想磁体和导体相互的电动力学作用.
这里可观察到的现象只取决于导体和磁体的相对运动, 按照通常的看法,
这两个物体之中究竟是哪个在运动是截然不同的两回事.
因为, 如果磁体处于运动状态, 而导体处于静止状态,
则在磁体附近就会产生一个具有一定能量的电场,
在导体所在的地方产生电流. 但是, 如果磁体是静止的,
而导体是运动的, 那么在磁体附近就不会产生电场.
然而, 我们在导体中发现了电动势, 这时磁体本身并没有相应的能量,
但它产生的电流 (假设在这两种情况下的相对运动相等)
与前一种情况下产生的电流路径和强度相同.
- 这些场的经典描述是 2 个三维向量场, 共有 6 个分量,
每个分量都是空间和时间的函数:
- $$ \mbox{电场强度} = \underline{E} = \begin{bmatrix} E_x \ E_y \ E_z \end{bmatrix} $$,
- $$ \mbox{磁感应强度} = \underline{B} = \begin{bmatrix} B_x \ B_y \ B_z \end{bmatrix} $$,
- 其中每一种可能都与一个通量 2 形式相关,
以及与一个 1 形式相关. 对于电场,
我们记其通量 2 形式为
$$ E
$$, 记其 1 形式为 $$ ϵ $$: - $$ E = E_x (dy \land dz) + E_y (dz \land dx) + E_z (dx \land dy) $$,
- $$ ϵ = E_x dx + E_y dy + E_z dz $$.
- 我们对磁场做同样的处理, 把磁场的通量 2 形式记为
$$ B
$$, 1 形式记为 $$ β $$: - $$ B = B_x (dy \land dz) + B_y (dz \land dx) + B_z (dx \land dy) $$,
- $$ β = B_x dx + B_y dy + B_z dz $$.
正如爱因斯坦解释的, 这些 2 形式和
1 形式都不是独立于观察者的绝对存在.
也就是说, 相对运动的观察者会对电场和磁场有不同的看法,
他们也会对空间和时间有不同的看法,
而这种不同恰恰使得物理现象独立于观察者的运动:
只能有一个物理现实!
-
非常了不起, 也非常漂亮! 自然告诉我们, 电和磁的 2 形式和 1 形式结合成单一的电磁 2 形式, 它在时空中具有绝对意义!
- 它被称为
法拉第 2 形式, 记作 $$ F $$: - $$ F = \mbox{法拉第 2 形式} = ϵ \land dt + B $$.
- 它被称为
-
现在就来描述 $$ F $$ (独立于观察者) 的物理意义. 在 $$ F $$ 的第二个输入空位填入一个向量 $$ u
$$, 就会得到 $$ F(..., u)$$. 再在第一个输入空位填入一个向量, 就会得到一个数. 由此可见 $$ F(..., u) $$ 是一个 1 形式.- 我们将一个电荷
$$ q $$
放进由
$$ F $$
描述的电磁场. 设质点在时空中的
4-速度向量为 $$ u$$, 用 1 形式 $$ π $$ 表示它的动量, 用 $$ τ $$ 表示固有时间 (又称为 "腕表时间"), 则 $$ qF(..., u) $$ 就表示作用于该质点的电磁力: - $$ \frac{d π}{d τ} = qF(..., u) $$.
- 这是一个 1 形式, 输入一个向量以后得到一个数, 这个数在物理上表示电磁力沿输入向量方向的大小.
- 与此形成对比的是更复杂的公式: 洛伦茨力定律. 这是我们在电动力学导论中学到的, 用于描述具有空间速度向量 $$ v $$ 的质点的空间动量向量 $$ p $$ 变化率:
- $$ \frac{dp}{dt} = q (\underline{E} + v \times \underline{B}) $$.
- 在这个经典公式中, 相对运动的不同观察者会对
$$ p
$$, $$ \underline{E}$$, $$ v$$, $$ \underline{B} $$ 的值产生不同的看法!
- 我们将一个电荷
$$ q $$
放进由
$$ F $$
描述的电磁场. 设质点在时空中的
-
译者注: 洛伦茨力是指运动电荷在电磁场中受到的作用力, 由荷兰物理学家洛伦茨首先在电子论中作为基本假设引入. 洛伦茨力等于电场和磁场分别对运动电荷作用力的合力, 表示为
- $$ F = q(\underline{E} + v \times \underline{B}) $$.
- 所以 $$ F = \frac{dp}{dt} $$, 即洛伦茨力等于运动电荷空间动量关于时间的变化率.
-
在介绍麦克斯韦 2 形式之前, 我们先说明电磁学的麦克斯韦方程组, 我们将把它分成两对方程.
- 第一对方程描述了
无源情况下的电磁场 (即电荷密度 $$ ρ $$ 是标量, 此处为零; 电流密度 $$ \underline{j} $$ 是向量, 此处为零向量): - 麦克斯韦无源方程组: $$ \begin{align} \nabla \cdot \underline{B} & = 0 \ \nabla \times \underline{E} + ∂_t \underline{B} & = 0 \ \end{align} $$
- 我们将在后文中看到, 当用法拉第 2 形式表示时, 这两个方程会简化为优雅的单个方程. 第二对麦克斯韦方程描述了源产生的电磁场:
- 麦克斯韦有源方程组: $$ \begin{align} \nabla \cdot \underline{E} & = 4 π ρ \ \nabla \times \underline{B} - ∂_t \underline{E} & = 4 π \underline{j} \ \end{align} $$
- 第一对方程描述了
-
第二对方程
也能简化为优雅的单个方程, 但这一次采用了与 $$ F $$ 密切相关的一个不同的 2 形式, 并表示为 $$ *F $$. 这就是麦克斯韦 2 形式, 它几乎 (但不完全) 是法拉第 2 形式中电场和磁场互换作用的结果:- $$ *F = \mbox{麦克斯韦 2 形式} = β \land dt - E $$.
- 星形算子
($$ *
$$) 是前面提到的霍奇对偶算子. 它是一个纯数学运算, 在 $$ n $$ 维空间中将 $$ p \mbox{ 形式} $$ 映射为 $$ (n - p) \mbox{ 形式}$$. 由于我们在四维空间中, $$ * $$ 将 2 形式的 $$ F $$ 映射到另一个 2 形式的 $$ *F$$, 即 $$ F $$ 的 (霍奇) 对偶. - 如果我们第二次应用星形算子, 换句话说, 取麦克斯韦 2 形式的对偶, 则会回到法拉第 2 形式 (只是有一个负号):
- $$ **F = - F $$.
p 形式的存在一般要求至少有 p 个维度. 我们也可以反过来思考,
注意到, 在 n 维空间中存在的最高次形式是 n 形式.
-
两个 1 形式的楔积就是一个 2 形式, 现在我们尝试推广楔积的定义, 以保证 2 形式 $$ Ψ $$ 和 1 形式 $$ σ $$ 相乘自动生成一个 3 形式 $$ Ψ \land σ $$.
-
$$ \begin{align} (Ψ \land σ)(v_1, v_2, v_3) & = Ψ(v_1, v_2) σ(v_3) \ & + Ψ(v_2, v_3) σ(v_1) \ & + Ψ(v_3, v_1) σ(v_2) \ \end{align} $$
- 注意: 公式中向量的这种循环排列便于记忆.
- 我们可以用同样的技巧来定义一个看似不同的 3 形式
$$ σ \land Ψ
$$, 但它其实与 3 形式 $$ Ψ \land σ $$ 相同! 要知道为什么, 只需将上式右边每一项中的 $$ σ(v_i) $$ 移到前面, 就容易看出循环排列保持不变: - $$ \begin{align} (σ \land Ψ)(v_1, v_2, v_3) & = σ(v_1) Ψ(v_2, v_3) \ & + σ(v_2) Ψ(v_3, v_1) \ & + σ(v_3) Ψ(v_1, v_2) \ \end{align} $$
- 因此, 尽管两个 1 形式的楔积是反对称的, 即
- $$ φ \land ψ = - (ψ \land φ) $$,
- 一个 2 形式 $$ Ψ $$ 和一个 1 形式 $$ σ $$ 的楔积却是对称的:
- $$ Ψ \land σ = σ \land Ψ $$.
-
下面是我们很快就会证明的一般规则:
- 若 $$ Ψ $$ 是一个 p 形式, $$ Ω $$ 是一个 q 形式, 则 $$ Ψ \land Ω = (-1)^{pq} Ω \land Ψ $$.
-
假设上述规则为真, 我们还能推导出, 如果 $$ Ω $$ 是奇数次的形式, 则
- $$ Ω \land Ω = 0 $$.
- 当然, 1 形式的楔积是这种现象的第一个例子: $$ Ψ \land Ψ = 0 $$.
-
现在令 $$ Ψ = \mathbf{d} x^1 \land \mathbf{d} x^2 $$ 和 $$ σ = \mathbf{d} x^3 $$, 定义体积 3 形式为
- $$ \mathcal{V} ≡ (d x^1 \land d x^2) \land d x^3 $$.
-
我们会看到三个 1 形式的楔积服从结合律, 所以体积 3 形式可以表示为
- $$ (d x^1 \land d x^2) \land d x^3 = d x^1 \land d x^2 \land d x^3 = d x^1 \land (d x^2 \land d x^3) $$.
-
为了证实我们在前文所说的结合律, 下面来推广这个讨论, 并定义三个任意 1 形式的楔积. 我们希望系统地标记这三个 1 形式, 避免与分量产生任何可能的混淆, 所以我们将它们记为 $$ \underset{1}{σ}
$$, $$ \underset{2}{σ}$$, $$ \underset{3}{σ} $$.- 也就是说, 我们用这三个 1 形式来定义从 $$ \mathbb{R}^n $$ 中的向量 $$ v $$ 到 $$ \mathbb{R}^3 $$ 中的向量 $$ F(v) $$ 的映射 $$ F $$:
- $$ v \to F(v) ≡ \begin{bmatrix} \underset{1}{σ} (v) \ \underset{2}{σ} (v) \ \underset{3}{σ} (v) \end{bmatrix} $$
-
因此, $$ \mathbb{R}^n $$ 中一个以 $$ v_1
$$, $$ v_2$$, $$ v_3 $$ 为棱的平行六面体, 被 $$ F $$ 映射到 $$ \mathbb{R}^3 $$ 中一个以 $$ F(v_1)$$, $$ F(v_2)$$, $$ F(v_3) $$ 为棱的平行六面体. 我们可以定义 $$ \underset{1}{σ} \land \underset{2}{σ} \land \underset{3}{σ} $$ 为 $$ \mathbb{R}^3 $$ 中的像平行六面体的体积算子:- $$ \begin{align} \underset{1}{σ} \land \underset{2}{σ} \land \underset{3}{σ} & = \underset{1}{σ} \otimes \underset{2}{σ} \otimes \underset{3}{σ} + \underset{2}{σ} \otimes \underset{3}{σ} \otimes \underset{1}{σ} + \underset{3}{σ} \otimes \underset{1}{σ} \otimes \underset{2}{σ} \ & - \underset{2}{σ} \otimes \underset{1}{σ} \otimes \underset{3}{σ} - \underset{3}{σ} \otimes \underset{2}{σ} \otimes \underset{1}{σ} - \underset{1}{σ} \otimes \underset{3}{σ} \otimes \underset{2}{σ} \ \end{align} $$
- 请注意, 第一行中的三个正项是对 123 的循环排列, 第二行中的三个负项是非循环排列. 第二行中的每一项都是通过交换其正上方循环排列项的前两个 1 形式获得的.
- 在线性代数中, 第一行中 (奇数个数的) 循环排列称为偶排列,
第二行中 (奇数个数的) 反向循环排列称为奇排列. 记
$$ σ(ijk) $$
为
$$ ijk $$
的逆序数 (若
$$ i > j
$$, 则称为一个逆序, 逆序数即 $$ ijk $$ 的逆序个数), 则上式可写成 $$ \underset{1}{σ} \land \underset{2}{σ} \land \underset{3}{σ} = \sum (-1)^{σ(ijk)} \underset{i}{σ} \otimes \underset{j}{σ} \otimes \underset{k}{σ} $$. 所以, 这个定义类似于行列式的展开式. - 译者注: 在电力工程中, 将第一行中这样的循环项称为正序循环, 第二行中的项称为反序循环.
- 正如
$$ { d x^i \land d x^j } $$
形成了 2 形式的基底,
$$ { d x^i \land d x^j \land d x^k } $$
形成了 3 形式的基底. 在
$$ \mathbb{R}^3 $$
中只有一个 3 形式基, 即体积 3 形式
$$ \mathcal{V} = d x^1 \land d x^2 \land d x^3
$$. $$ \mathbb{R}^3 $$ 中的 3 形式都是 $$ \mathcal{V} $$ 的倍数.- 然而, 在 $$ \mathbb{R}^4 $$ 中, 有四个不同的 3 形式基. 一般的 3 形式 $$ Ω $$ 可以分解为如下分量:
- $$ \begin{align} Ω & = Ω_{123} (d x^1 \land d x^2 \land d x^3) \ & + Ω_{234} (d x^2 \land d x^3 \land d x^4) \ & + Ω_{341} (d x^3 \land d x^4 \land d x^1) \ & + Ω_{412} (d x^4 \land d x^1 \land d x^2) \ \end{align} $$
- 在形式的讨论中, 函数
$$ f $$
被认为是 0 形式. 当将外导数
$$ \mathbf{d} $$
作用于
$$ f $$
时, 它产生
$$ f $$
的梯度 1 形式
$$ \mathbf{d} f
$$, 用它可以计算出 $$ f $$ 在每一个可能的方向上变化得有多快. 如果想知道 $$ f $$ 沿特定方向 $$ u $$ 的变化率, 就把它作为一个问题提交给神奇的 1 形式 $$ \mathbf{d} f $$, 而它宣布的答案就是式:- $$ \mathbf{d} f(u) = \nabla_u f $$.
- 总而言之, 用 $$ \mathbf{d} $$ 可以算出每一个可能方向上的变化率, 它将 0 形式 $$ f $$ 的次数增加 1, 使得可以再输入一个向量, 算出 0 形式 $$ f $$ 沿着这个向量的变化率.
- 这种方式表明, 我们的任务很明确: 必须推广
$$ \mathbf{d} $$
的定义, 使之可以作用于 p 形式
$$ Ψ
$$, 从而产生 $$ (p + 1) $$ 形式 $$ \mathbf{d} Ψ$$, 并且用这个 $$ (p + 1) $$ 形式算出 $$ Ψ $$ 在每一个方向上的变化率.
$$ \mathbf{d} f(u) = \nabla_u f
$$, 或许写成 $$ (\mathbf{d} f)(u) = \nabla_u f $$ 看着更明显.
- 由于
$$ \mathbf{d} f = ∂_i f \mathbf{d} x^i
$$, 我们可以推出算子 $$ \mathbf{d} $$ 的作用具有以下优雅, 自然并且非常实用的表达式:- $$ d φ = d(φ_j d x^j) = d φ_j \land d x^j $$.
- $$
dΨ = d(Ψ_{ij} dx^i \land dx^j) =
d Ψ_{ij} \land d x^i \land dx^j
$$.
- 现在就弄清楚了
$$ \mathbf{d} $$
是如何作用于
$$ p $$
形式
$$ Φ
$$, 从而创建 $$ (p + 1) $$ 形式 $$ \mathbf{d} Φ $$ 的: - $$ \mathbf{d} Φ = \mathbf{d} (Φ_{i_1 ... i_p} d x^{i_1} \land ... \land d x^{i_p}) = d Φ_{i_1 ... i_p} \land d x^{i_1} \land ... \land d x^{i_p} $$.
- 现在就弄清楚了
$$ \mathbf{d} $$
是如何作用于
$$ p $$
形式
$$ Φ
-
如果 $$ f $$ 是一个函数 (即一个 0 形式), 则
- $$ d(fΨ) = (df) \land Ψ + f dΨ $$.
- 然而, 形式的一般莱布尼茨法则 (又名乘积法则) 就不那么明显了:
- $$ d(Φ \land Ψ) = (dΦ) \land Ψ + (-1)^{\mbox{deg } Φ} Φ \land (dΨ) $$,
- 其中, $$ \mbox{deg } Φ $$ 表示形式 $$ Φ $$ 的次数.
- 例如, 如果
$$ \mbox{deg } Φ = 1
$$, 即 $$ Φ = φ $$ 是 1 形式, 那么 - $$ d(φ \land Ψ) = (dφ) \land Ψ - φ \land (dΨ) $$.
-
有一个记忆一般公式的好方法: 把 $$ \mathbf{d} $$ 看作一个 1 形式. 然后, 在 $$ \mathbf{d} (Φ \land Ψ) $$ 右边的 $$ \mathbf{d} $$ 到达 $$ Ψ $$ 之前, 必须将它推到 $$ Φ $$ 的所有 1 形式后面, 导致正负号改变 $$ \mbox{deg } Φ $$ 次. 这种助记方法实际上是非常接近事实的.
-
让 $$ \mathbf{d} $$ 两次作用于任何形式都为零:
- $$ \mathbf{d}^2 = 0 $$.
-
如果一个形式的外导数为零, 则称这个形式是闭的:
- $$ Υ \mbox{ 是闭的} \Longleftrightarrow d Υ = 0 $$.
- 我们最终将看到, 闭形式是对不可压缩流体流动的通量 2 形式的高维模拟.
-
如果一个 $$ p $$ 形式是某个 $$ (p - 1) $$ 形式的外导数, 则称这个 $$ p $$ 形式是恰当的:
- $$ Υ $$
是恰当的
$$ \Longleftrightarrow $$
存在某个
$$ Ψ
$$, 使得 $$ dΨ = Υ $$.
- $$ Υ $$
是恰当的
$$ \Longleftrightarrow $$
存在某个
$$ Ψ
-
用物理学的语言来说, $$ Ψ $$ 是 $$ Υ $$ 的位势. 如果存在一个这样的位势, 则它就不是唯一的, 因为若 $$ Θ $$ 为任意一个 $$ (p - 2) $$ 形式, 取
- $$ Ψ \rightsquigarrow \tilde{Ψ} = Ψ + d Θ $$,
- 则 $$ \tilde{Ψ} $$ 也是 $$ Υ $$ 的一个位势: $$ Υ = d \tilde{Ψ} $$. 这种位势选择的无关性称为规范无关性, 变换 $$ Ψ \rightsquigarrow \tilde{Ψ} $$ 称为规范变换.
- 进一步可得, 每一个恰当形式都是闭的: $$ Υ = dΨ \Longrightarrow dΥ = 0 $$.
-
基于此, 我们很自然地要反过来问: 一个闭形式是否总是恰当的? 这是一个非常有趣也非常深刻的问题. 简单地说, 它取决于定义形式的区域的拓扑结构.
-
庞加莱引理. 如果在一个单连通区域里有
$$ \mathbf{d} Υ = 0
$$, 则存在某个 $$ Ψ $$ 使得 $$ Υ = \mathbf{d} Ψ $$. - 因此, 位势的确总是局部存在的. 但是,
如果区域
不是单联通的, 这样的位势 $$ Ψ $$ 可能根本就不存在, 这时就产生了全局问题. 研究非恰当的闭形式, 然后从中得到关于空间拓扑的详细信息, 就是所谓的德拉姆上同调.
-
庞加莱引理. 如果在一个单连通区域里有
$$ \mathbf{d} Υ = 0
-
复函数 $$ f $$ 是局部伸扭的充分必要条件是: 1 形式 $$ f \mathbf{d} z $$ 是闭的, 即 $$ \mathbf{d}(f \mathbf{d} z) = 0 $$.
- 即使不是局部伸扭的 (即非解析的) 复函数, 上面的公式也是很有价值的. 特别地, 我们注意到穿过实轴的反射是反共形的, 所以映射 $$ f(z) = \bar{z} = x - iy $$ 不受 $$ \mathbf{d} (f \mathbf{d} z) = 0 $$ 的约束. 确实, 我们发现
- $$ \mathbf{d} (\bar{z} \mathbf{d} z) = 2i \mathcal{A} $$.
-
我们提醒读者注意符号: $$ \underline{φ} $$ 对应于 $$ (\leftrightarrows) $$ 1 形式 $$ φ $$ 的向量, $$ \underline{Ψ} $$ 对应于通量 2 形式 $$ Ψ $$ 的向量, $$ \mathcal{V} = dx^1 \land dx^2 \land dx^3 $$ 是体积 3 形式.
-
向量场的旋度对应于一个 1 形式! 即,
- $$ \mathbf{d} φ \leftrightarrows \nabla × \underline{φ} = \mbox{curl } \underline{φ} = \begin{bmatrix} ∂_1 \ ∂_2 \ ∂_3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} φ_1 \ φ_2 \ φ_3 \end{bmatrix} $$
- 因此, 如果
$$ φ $$
是
闭的, 就意味着 $$ \mathbf{d} φ = 0$$, 即 $$ \underline{φ} $$ 的旋度为零: 如果把 $$ \underline{φ} $$ 描绘成空间中一个流体流动的速度, 我们在流体中插入一个小球 (不是一个质点), 它也将具有速度 $$ \underline{φ} $$, 但是不会自旋. - 这种情况下, 这个流称为
无旋的. 如果 $$ \mathbf{d} φ ≠ 0$$, 球就会自旋, 旋度 $$ \mbox{curl } φ $$ 指向自旋轴, 其大小为自旋角速率的 2 倍. 在这种情况下, 旋度 $$ \mbox{curl } φ $$ 称为涡度向量.
-
我们也可以把闭形式描绘成保守力场对应的形式, 好处是, 这时的 1 形式 $$ φ $$ 就是
功. -
如果 $$ φ $$ 是
闭的, 那么质点绕一个封闭环路所做的功就等于零. -
向量场的散度也出现了, 对应于通量 2 形式! 总而言之,
- $$ \mathbf{d} Ψ = (\mbox{div } \underline{Ψ}) \mathcal{V} = (\nabla \cdot \underline{Ψ}) \mathcal{V} $$.
- 因此, 如果
$$ Ψ $$
是
闭的, 就意味着 $$ \mathbf{d} Ψ = 0$$, 即 $$ \underline{Ψ} $$ 的散度为零. 这对应于一个不可压缩流体在一个没有被泵入或被吸出的区域里的流动, 对于一个封闭的曲面, 流出的流体量与流进的流体量相等. - 一般来说, 将
$$ dΨ $$
应用于一个非常小的平行六面体, 最终会产生
流体流出的净流量.
-
外微分的基本恒等式: $$ \mathbf{d}^2 = 0
$$, 这对 $$ \mathbb{R}^3 $$ 中的向量场有重要的意义. 如果在前文中取 $$ φ = df $$, 则立即得到向量微积分的一个经典结果:- $$ dφ = d^2 f = 0 \Longleftrightarrow \mbox{curl} (\mbox{grad } f) = \nabla \times \nabla f = 0 $$.
- 如果取 $$ Ψ = d φ $$, 则立即得到向量微积分的另一个经典结果:
- $$ dΨ = d^2 φ = 0 \Longleftrightarrow \mbox{div} (\mbox{curl } \underline{φ}) = \nabla \cdot (\nabla \times \underline{φ}) = 0 $$.
-
在形式和 ($$ \mathbb{R}^3 $$) 向量之间存在非常有用的代数联系:
- $$ φ \land Ψ = (\underline{φ} \cdot \underline{Ψ}) \mathcal{V} $$.
- $$ \nabla \cdot [f \underline{Ψ}] = (\nabla f) \cdot \underline{Ψ} + f \nabla \cdot \underline{Ψ} $$.
- $$ \nabla \times [f \underline{φ}] = \nabla f \times \underline{φ} + f \nabla \times \underline{φ} $$.
-
麦克斯韦无源方程组表明法拉第 2 形式是闭的:
- $$ dF = 0 $$.
-
在四维时空中, 霍奇星形算子 $$ (*) $$ 将 $$ p $$ 形式映射为对偶 $$ (4 - p) $$ 形式. 特别地, 源密度 1 形式 $$ J $$ 的对偶是 3 形式:
- $$ *J = -ρ \mathcal{V} + [\underline{j} \mbox{ 的通量 2 形式}] \land dt $$,
- 而且, 法拉第 2 形式的对偶就是麦克斯韦 2 形式:
- $$ *F = \mbox{麦克斯韦 2 形式} = β \land dt - E $$.
- 由于通过交换电场和磁场, 并且改变第一项的符号, 就可以从法拉第 2 形式得到麦克斯韦 2 形式, 因此, 根据上面两个麦克斯韦有源方程, 可以利用上述整个对 $$ dF $$ 的计算, 简单地写出 $$ d*F $$ 的答案.
-
麦克斯韦 2 形式服从这个自然法则:
- $$ d * F = 4 π * J $$.
-
1 形式 $$ φ $$ 作用于有向曲线的一小段 $$ dr $$, 产生力在运动方向上的分量, 再乘以小运动的长度, 即得到在执行该运动时所做的功. 然后, 整个积分是:
- 当 1 形式
$$ φ $$
沿有向曲线
$$ K $$
每次走一小段
$$ dr
$$, 最后走完全程时, 将所做的功累加起来获得的总功. (这里我们偷懒了: 应该写成 $$ δr $$, 并使用最终相等.) - 这样想, 我们就得到了 1 形式在曲线 $$ K $$ 方向上积分的定义,
- $$ \int_K φ ≡ \mathcal{C}_K (\underline{φ}) ≡ \int_K φ_K ds $$.
- 在这个定义中, (左边的) 积分符号下缺失
$$ d(\mbox{某个变量}) $$
是不常见的, 也许一开始会让人感到不安:
但是要记住我们并不需要它, 因为我们知道
$$ φ $$
会沿
$$ K $$
每次走过一小段
$$ dr
$$, 最后走完全程 $$ K $$.
- 当 1 形式
$$ φ $$
沿有向曲线
$$ K $$
每次走一小段
$$ dr
-
如果积分与从 $$ a $$ 到 $$ b $$ 的路径 $$ K $$ 无关, 则沿闭合环路 $$ L $$ 的积分为零. 反过来, 如果沿所有闭合环路的积分都为零, 则积分与路径无关
- 简言之, 积分与路径无关 $$ \Longleftrightarrow $$ 闭合环路上的积分为零.
-
恰当 1 形式 $$ φ = \mathbf{d} f $$ 的积分与路径无关, 等于 $$ f $$ 沿 $$ K $$ 的变化:
- $$ \int_K \mathbf{d} f = f(b) - f(a) $$.
- 在物理学中,
$$ φ = \mathbf{d} f $$
对应于保守力场
$$ \underline{φ} = \nabla f
$$, 而 $$ f $$ 是势能. 那么势能的变化 $$ f(b) - f(a) $$ 就是力场把质点从 $$ a $$ 带到 $$ b $$ 所做的功, 它与路径无关, 所以上面结论的另一种写法是我们熟悉的 - $$ \int_K (\nabla f) \cdot dr = f(b) - f(a) $$.
-
设 $$ Π(ϵ \mathbf{u}, ϵ \mathbf{v}) $$ 为一个小平行四边形的有向边界, 其第一条边是 $$ ϵ \mathbf{u}
$$, 第二条边是 $$ ϵ \mathbf{v}$$. 当 $$ ϵ $$ 趋于零时, 该平行四边形最终收缩到一点. 我们定义 $$ Ω(ϵ \mathbf{u}, ϵ \mathbf{v}) $$ 为 1 形式 $$ φ $$ 环绕 $$ Π $$ 的积分:- $$ Ω(ϵ \mathbf{u}, ϵ \mathbf{v}) ≡ \oint_{Π(ϵ \mathbf{u}, ϵ \mathbf{v})} φ $$.
- 这个积分是一个 2 形式, 但不是任意的 2 形式: 它是 $$ φ $$ 的外导数! 也就是说,
- $$ Ω(ϵ \mathbf{u}, ϵ \mathbf{v}) \asymp \mathbf{d} φ (ϵ \mathbf{u}, ϵ \mathbf{v}) $$.
- 抽出两边的向量, 得到
- $$ Ω \asymp \mathbf{d} φ $$.
- $$ Ω $$ 具有 2 形式要求的反对称性.
-
如果流体以速度 $$ \underline{φ} $$ 流动, 则其环绕一个 (最终收缩成一点的) 小平行四边形的环流 $$ Ω $$ 最终等于将通量 2 形式 $$ \mathbf{d} φ $$ 作用于其边的结果.
- 为了便于将来使用,
我们要用经典向量微积分的语言把这个重要的结果表示为显式公式. 设
$$ \hat{n} $$
是垂直于平行四边形的单位向量, 它的方向由右手定则决定,
即右手四根手指从
$$ \mathbf{u} $$
弯曲到
$$ \mathbf{v}
$$, $$ \hat{n} $$ 指向大拇指的方向. - 再设
$$ δ \mathcal{A} $$
为平行四边形的面积:
$$
δ \mathcal{A} =
\mid ϵ \mathbf{u} × ϵ \mathbf{v} \mid
$$, 所以 $$ ϵ \mathbf{u} × ϵ \mathbf{v} = \hat{n} δ \mathcal{A} $$.
- 为了便于将来使用,
我们要用经典向量微积分的语言把这个重要的结果表示为显式公式. 设
$$ \hat{n} $$
是垂直于平行四边形的单位向量, 它的方向由右手定则决定,
即右手四根手指从
$$ \mathbf{u} $$
弯曲到
$$ \mathbf{v}
-
$$ \nabla × \underline{φ} $$ 通过平行四边形的通量是它垂直于平行四边形的分量 (即在 $$ \hat{n} $$ 方向上的分量):
- $$ \mbox{通量} \asymp (\nabla × \underline{φ}) \cdot \hat{n} δ \mathcal{A} $$.
- 然后, 我们有
- $$ \begin{align} \oint_{Π(ϵ \mathbf{u}, ϵ \mathbf{v})} φ & = Ω(ϵ \mathbf{u}, ϵ \mathbf{v}) \ & \asymp \mathbf{d} φ(ϵ \mathbf{u}, ϵ \mathbf{v}) \ & = (\nabla × \underline{φ}) \cdot \hat{n} δ \mathcal{A} \end{align} $$.
-
设 $$ Π(ϵ \mathbf{u}, ϵ \mathbf{v}, ϵ \mathbf{w}) $$ 是按照右手定则组成的小平行六面体的表面, 其第一, 第二, 第三条棱分别为 $$ ϵ \mathbf{u}
$$, $$ ϵ \mathbf{v}$$, $$ ϵ \mathbf{w}$$, 当 $$ ϵ $$ 趋于零时, 它最终收缩到一点. 现在, 我们讨论 2 形式 $$ Ψ $$ 在有向二维边界 $$ Π(ϵ \mathbf{u}, ϵ \mathbf{v}, ϵ \mathbf{w}) $$ 上的积分.- 令 $$ Ω(ϵ \mathbf{u}, ϵ \mathbf{v}, ϵ \mathbf{w}) $$ 为 $$ Ψ $$ 在 $$ Π $$ 上的积分:
- $$ Ω(ϵ \mathbf{u}, ϵ \mathbf{v}, ϵ \mathbf{w}) ≡ \iint_{Π(ϵ \mathbf{u}, ϵ \mathbf{v}, ϵ \mathbf{w})} Ψ $$.
- 用经典向量微积分的语言来说, 这就是向量
$$ \underline{Ψ} $$
从
$$ Π $$
净
流出的流量: - $$ Ω(Π) = \iint_{Π} \underline{Ψ} \cdot \hat{n} d \mathcal{A} $$,
- 其中,
$$ \hat{n} $$
是平行六面体表面的单位
外法向.
-
根据 1 形式的结果, 我们预计这个积分是一个 3 形式, 但不是任意的 3 形式. 它应该是 $$ Ψ $$ 的外导数:
- $$ \begin{align} \iint_{Π(ϵ \mathbf{u}, ϵ \mathbf{v}, ϵ \mathbf{w})} Ψ & = Ω(ϵ \mathbf{u}, ϵ \mathbf{v}, ϵ \mathbf{w}) \ & \asymp \mathbf{d} Ψ(ϵ \mathbf{u}, ϵ \mathbf{v}, ϵ \mathbf{w}) \ & = (\nabla \cdot \underline{Ψ}) \mathcal{V} (ϵ \mathbf{u}, ϵ \mathbf{v}, ϵ \mathbf{w}) \end{align} $$.
- 因此, 将向量从中抽出后, 我们就得到
- $$ Ω \asymp \mathbf{d} Ψ = (\nabla \cdot \underline{Ψ}) \mathcal{V} $$.
-
确实如此, 在正交平行六面体的情况下证明这件事是最简单, 最清楚的: 这个平行六面体 (设其中心为 $$ p
$$) 的棱平行于正交基向量 $$ { ϵ_1 \mathbf{e}_1, ϵ_2 \mathbf{e}_2, ϵ_3 \mathbf{e}_3 }$$, 所以它的体积是 $$ \mathcal{V} = ϵ_1 ϵ_2 ϵ_3 $$. -
将 $$ \mathbf{d} (3 \mbox{ 形式}) $$ 作用于四维空间中一个小的, 紧的, 最终收缩到一点的区域, 就会产生这个 3 形式在该区域的三维边界上的积分, 更高维的情况也类似.
-
我们在向量微积分中学习的所有积分定理 (格林定理, 斯托克斯定理和高斯定理) 都只是形式理论中一个优雅定理的特殊情况.
- 外微积分基本定理: $$ \int_R d φ = \int_{∂R} φ $$.
- 等式右边表示的是一个
$$ p $$
形式
$$ φ $$
在一个
$$ p + 1 $$
维的定向紧区域
$$ R $$
的
$$ p $$
维定向
边界$$ ∂R $$ 上的积分, 等式左边表示的是 $$ φ $$ 的外微分 $$ dφ $$ [这是一个 $$ (p + 1) $$ 形式] 在 $$ R $$ 上的积分. - 注意, 因为这里的维数和形式的次数中涉及的 $$ p $$ 是一般的, 未知的, 所以我们必须摒弃重积分的记号, 在方程两边都使用单一的积分符号.
-
注意: 我们所称的外微积分基本定理 (以下简称为 FTEC), 实际上在所有其他图书中都被称为广义斯托克斯定理, 通常简称为 GST.
-
$$ ∂^2 = 0 \Longleftrightarrow $$ 边界的边界是零!
- 反之, 如果我们理解了这个几何陈述, 也就解释了 $$ \mathbf{d}^2 = 0 $$ 的几何意义:
- $$ \mathbf{d}^2 = 0 \Longleftrightarrow ∂^2 = 0 $$.
- 让我们用
3-2-1维度来解释这个结果. 一个以 $$ { \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 } $$ 为边, 服从右手定则的三维平行六面体. 它的边界由 6 个定向的二维平面组成. 最后, 边界的边界由 12 条边组成, 每条边在一个方向上走过一次, 在相反的方向上也走过一次. - 因此, 如上所述, 我们看到三维立体的二维边界的一维边界确实是零!
-
空间中弯曲的曲面 $$ \mathcal{S}
$$. 令垂直于曲面的单位向量为 $$ \hat{n} $$, 方向的选择由曲面的方向通过右手定则确定. 由 FTEC 可得斯托克斯定理:- $$ \oint_{∂S} \underline{φ} \cdot dr = \oint_{∂S} φ = \iint_{S} dφ = \iint_{S} (\nabla × \underline{φ}) \cdot \hat{n} d \mathcal{A} $$.
-
以法拉第在 1831 年发现的法拉第电磁感应定律为例: 如果曲面 $$ \mathcal{S} $$ 是在一个环形线圈 $$ ∂ \mathcal{S} $$ 上张成的曲面, 一个变化磁场的磁力线通过它, 则在线圈中产生一个电动势, 这个电动势等于通过 $$ \mathcal{S} $$ 的磁通量的变化率的负值.
- 它的数学形式为
- $$ \oint_{∂S} \underline{E} \cdot dr = - ∂_t \iint_{S} \underline{B} \cdot \hat{n} d \mathcal{A} $$.
- 利用斯托克斯定理, 可以将它表示为
- $$ \iint_{S} [\nabla × \underline{E} + ∂_t \underline{B}] \cdot \hat{n} d \mathcal{A} = 0 $$.
- 因为这个等式对所有曲面 $$ \mathcal{S} $$ 都成立, 所以被积函数本身就一定等于零. 我们因此发现 1831 年的法拉第定律等价于 1873 年的麦克斯韦方程组之中的一个方程:
- $$ \nabla × \underline{E} + ∂_t \underline{B} = 0 $$.
-
如果在 FTEC 中取 $$ Φ = Ψ $$ 为通量 2 形式, 则 $$ dΨ = (\nabla \cdot Ψ) \mathcal{V} $$ 是描述源密度的 3 形式. 现在 $$ R $$ 一定是一个有向体积 $$ V
$$, 它的边界 $$ \mathcal{S} = ∂V $$ 一定是它的二维边界曲面. 如果我们从头到尾都用经典符号表示, 就看到 FTEC 包含了高斯定理, 后者也称为散度定理:- $$ \iiint_{V} (\nabla \cdot \underline{Ψ}) d \mathcal{V} = \iiint_{V} dΨ = \oiint_{∂V} Ψ = \oiint_{S} \underline{Ψ} \cdot \hat{n} d \mathcal{A} $$.
$$ (x, y) $$ 平面区域 $$ R $$, 分割为无穷小的
有向平行四边形.
积分, 毗连的两个四边形, 相邻边抵消. 所以最终只有 $$ R $$ 区域的边界有效.
维度提升: 使 $$ R $$ 从二维平面弯曲成三维曲面. 然后, 保持曲面边界不变, 任意变形曲面 $$ R $$ 的内域.
$$ \mathbb{R}^3 $$ 中的区域 $$ V $$ 的单元格: 平行四边形 $$ \to $$ 平行六面体.
- 从一个最终收缩成一点的小平行六面体中流出的流量最终的阶是
$$ ϵ^3
$$, 并表现为 3 形式 $$ \mathbf{d} Ψ $$ 作用于平行六面体的棱.
- $$ f(z) $$
在局部是一个伸扭的事实等价于 1 形式的
$$ f \mathbf{d} z $$
是闭的:
$$ \mathbf{d} (f \mathbf{d} z) = 0 $$.
因此, 可由 FTEC 立即得出柯西定理:
- $$ \oint_{∂R} f \mathbf{d} z = \iint_{R} \mathbf{d} (f \mathbf{d} z) = 0 $$.
- 当
$$ f(z) $$
不是局部伸扭时, FTEC 也可以用来得到有趣的结果. 例如, 在反共形映射 $$ f(z) = \bar{z} $$ 的情况下, 我们看到 $$ \mathbf{d} (\bar{z} \mathbf{d} z) = 2i \mathcal{A} $$, 于是现在由 FTEC 产生了 - $$ \oint_{∂R} \bar{z} \mathbf{d} z = \iint_{R} \mathbf{d} (\bar{z} \mathbf{d} z) = 2i \iint_{R} \mathcal{A} = 2i \mathcal{A}(R) $$.
-
我们将只提供对该主题的一个小尝试, 从闭的但非恰当的 1 形式开始, 产生第一个德拉姆上同调群 $$ H^1 (R) $$.
-
在所有包围具有涡旋奇点的简单环路上, 闭 1 形式都具有相同的环量 $$ \mathcal{C} = q
$$. 另外, 在任何不包围涡旋奇点的环路上, 闭 1 形式的环量都为零: $$ \mathcal{C} = 0 $$.- 注意: 如果一个环路环绕原点
$$ m $$
次, 则说它的环绕数是
$$ m
$$. 在这种情况下 $$ \mathcal{C} = mq $$.
- 注意: 如果一个环路环绕原点
$$ m $$
次, 则说它的环绕数是
$$ m
-
闭 1 形式的变形定理: 在环路连续变形的情况下, 一个闭 1 形式沿环路的环量 [称为 (德拉姆) 周期] 是不变的.
-
如果两个 1 形式在绕所有环路时具有相同的环量, 则它们被认为是基本相同的, "等价的".
- 注意: (我们不会使用的) 技术术语是, 这两个 1 形式是上同调的.
-
假设我们在涡旋 1 形式 $$ φ $$ 中加入一个不变的 1 形式, 对应于某个方向上的稳定流, 它本身绕任何环路的环量显然都为零, 那么新流的环量就是旧流的环量和这个稳定流的环量 (为零) 之和. 因此它绕所有环路的环量是不变的, 这个新的 1 形式与 $$ φ $$ 属于相同的等价类.
- 更一般地说, 我们可以添加绕所有环路的环量都为零的
任意流. 换句话说, 我们可以加上任意一个恰当1 形式. - 综上所述, 如果两个 1 形式
$$ \tilde{φ} $$
和
$$ φ $$
是等价的, 记为
$$ \tilde{φ} \sim φ
$$, 则 $$ \tilde{φ} \sim φ \Longleftrightarrow $$ 存在某个 $$ f $$ 使得 $$ \tilde{φ} - φ = \mathbf{d} f $$. - 每个等价类都是由其环量的值 $$ \mathcal{C} $$ 来定义的. (注意: 在关于德拉姆上同调的标准教科书中, 环量 $$ \mathcal{C} $$ 称为等价类的周期, 等价类本身称为上同调类.)
- 更一般地说, 我们可以添加绕所有环路的环量都为零的
-
关于术语的注释: 从历史上看, 在这种情况下使用周期这个术语源于
椭圆积分理论. 在物理学中, 我们习惯用周期来表示钟摆来回摆动的时间, 或者行星绕太阳一周的时间. 德拉姆周期与流体粒子绕奇点运行一圈所需的时间毫无关系.- 实际上, 绕 $$ K_r $$ 一周所需的时间 $$ T_r $$ 与 $$ r $$ 有关, 为 $$ T_r = 4 π^2 (r^2 / q) $$, 而周期是固定的, 为 $$ \mathcal{C} = q $$.
-
如果我们将取自不同的等价类中的这样两个 1 形式 $$ φ_1 $$ 和 $$ φ_2 $$ 相加, 便得到一个新的 1 形式, 其周期为
- $$ \mathcal{C} (φ_1 + φ_2) = \mathcal{C} (φ_1) + \mathcal{C} (φ_2) $$.
- 因此, 群 $$ H^1 (\mathbb{R}^2 - \mbox{原点}) $$ 同构于实周期的加法群, 我们可以说
- $$ H^1 (\mathbb{R}^2 - \mbox{原点}) = \mathbb{R} $$.
-
接下来增加一个维度, 考虑 $$ \mathbb{R}^3 $$ 中的 1 形式. 如果从 $$ \mathbb{R}^3 $$ 挖掉原点, 我们就能够将每个环路收缩成一点, 因为现在有足够的空间让收缩的环路
绕过原点, 而不需要穿过它, 所以现在空间又是单连通的了. (这种情形通常称为 "线单连通的" 或 "一维单连通的". 这时, 任何包围原点的闭曲面不能收缩到一点, 所以它是 "面多连通的" 或 "二维多连通的". 译者注) 因此不存在非恰当的闭 1 形式. 我们把这个事实记为- $$ H^1 (\mathbb{R}^3 - \mbox{原点}) = 0 $$.
- 如果我们将整个
$$ z $$
轴从
$$ \mathbb{R}^3 $$
中挖掉, 就得到了类似于带孔的
$$ \mathbb{R}^2 $$
的情况: 它
不是单连通的. - (这种情形是 "线多连通的" 或 "一维多连通的", 同时是 "面单连通的" 或 "二维单连通的". 译者注)
-
闭 2 形式的变形定理: 在环路连续变形的情况下, 一个闭 2 形式从二维闭曲面流出的通量 (称为周期) 是不变的.
-
2 形式等价类的定义与 1 形式等价类的定义相似: 两个 2 形式 $$ \tilde{Ψ} $$ 和 $$ Ψ $$ 是等价的, 当且仅当它们从任意闭曲面流出的流量都相同. 用更传统的术语来说,
- $$ \tilde{Ψ} \sim Ψ \Longleftrightarrow $$ 存在某个 1 形式 $$ φ $$ 使得 $$ \tilde{Ψ} - Ψ = \mathbf{d} φ $$.
- 将两个 2 形式相加, 则它们的通量也相加. 所以
- $$ H^2 (\mathbb{R}^3 - \mbox{原点}) = \mathbb{R} $$.
-
环面上闭 1 形式 $$ ϕ $$ 的等价类由两个独立的拓扑周期决定: $$ ω_1 (ϕ) $$ 是沿环绕对称轴的环路的环量, 而 $$ ω_2 (ϕ) $$ 是沿穿过洞的环路的环量.
- 因此, 用一个二维向量 $$ ω(ϕ) $$ 就能清楚地表示关于 $$ ϕ $$ 的等价类, 我们称之为周期向量.
- 要指定
$$ \mathbb{R}^3 $$
中的一个单位向量, 或者单位球面上的一个点,
我们需要用两个数 (比如经度和纬度) 来表示它.
因此, 3 个任意的单位向量需要 6 个数.
但是现在考虑嘉当的
标准正交活动标架场, 假设我们只知道其中的一个向量 (用两个数表示), 那么就知道标架的其余两个向量 (标架的正交向量) 的顶点一定位于与已知向量正交的单位圆周上的某处.- 因此, 剩下的两个向量可以通过 (任意) 指定的一个角度确定下来.
- 换句话说,
嘉当活动标架场的
正交性所提供的额外结构使数据量减少了一半. - 反过来说, 嘉当的
正交活动标架的结构是非正交场的 2 倍.
- 在开始之前, 让我们提醒你一些 (正在使用的) 符号约定.
- 向量用罗马小写字母表示, 例如 $$ v $$.
- 1 形式用希腊小写字母表示, 例如 $$ θ $$.
- 2 形式用希腊大写字母表示, 例如 $$ Ψ $$.
- 矩阵用方括号表示, 例如
$$ [A] = [a_{ij}]
$$, 其中 $$ a_{ij} $$ 表示矩阵第 $$ i $$ 行第 $$ j $$ 列的元素.
注: 本文符号
不严格加粗.
-
最后是两个定义: 一个老定义, 一个新定义.
- 和通常一样, 设
$$ { e_j } $$
是固定的欧几里得正交基, 具有对偶的 1 形式基
$$ { d x^i }
$$. 因此, $$ d x^i (e_j) = δ^i_j $$. - 记 $$ { m_j } $$ 为 (任意可微的) 嘉当正交活动标架场, 记 $$ { θ^i } $$ 为其对偶的 1 形式基. 于是, 有 $$ θ^i (m_j) = δ^i_j $$.
- 注意, 虽然在一般的非正交基下,
单个基向量与匹配的 1 形式不能像上面这样配对, 但在我们的正交活动标架下, 这是成立的: 我们可以将 $$ θ^i $$ 看作 $$ m_i $$ 的对偶.
- 和通常一样, 设
$$ { e_j } $$
是固定的欧几里得正交基, 具有对偶的 1 形式基
$$ { d x^i }
-
$$ ω_{ij} (v) ≡ (\nabla_v m_i) \cdot m_j $$ 是标架沿 $$ v $$ 运动时 $$ m_i $$ 向 $$ m_j $$ 偏转的初始速率.
- 但愿你不会因为知道这些 $$ ω_{ij} $$ 都是 1 形式而感到惊讶!
- $$ ω_{ij} $$ 称为联络 1 形式, 且 $$ ω_{ji} = - ω_{ij} $$.
- 提醒: $$ ω_{ij} $$ 的两个下标会立即 (错误地!) 让人想到 $$ \begin{Bmatrix} 0 \ 2 \end{Bmatrix} $$ 阶张量的分量. 所以, 我们要强调: 这些全都是 1 形式, 放在一个 1 形式的矩阵里, 下标表示每一个 1 形式位于矩阵的第几行和第几列.
-
系数矩阵 $$ [C] $$ 是斜对称的 1 形式矩阵, 只有三个独立的元素 $$ ω_{12}
$$, $$ ω_{13}$$, $$ ω_{23}$$: 如果我们认为 $$ ω = [ω(v)] $$ 的意思是矩阵中的每一个元素都是 1 形式作用于 $$ v$$, 那么活动标架场沿一般方向 $$ v $$ 移动时的旋转可以用所谓的联络方程组优雅地描述为- $$ \nabla_v [m] = [ω(v)][m] $$.
- 用分量表示, 就是 $$ \nabla_v m_i = \sum_j ω_{ij}(v) m_j $$.
-
联络 1 形式 (几乎) 普遍写成 $$ ω_{ij}
$$, 就像我们写的那样, 不过常常会将一个指标上升成 $$ ω^i_j $$, 以便能够采用爱因斯坦求和约定.- 我们使用 $$ θ^i $$ 来表示 1 形式的对偶基.
- 有些数学家用
$$ ω^i $$
代替
$$ θ^i
$$! 是的, 他们用同一个希腊字母来表示联络 1 形式 $$ ω^i_j $$ 和 1 形式基 $$ ω^i $$, 只用不同数量的指标来提示, 这些符号代表完全不同的概念!
-
任何刚体在空间中的姿态意味着它在 $$ \mathbb{R}^3 $$ 中的
朝向. 要描述嘉当活动标架场 $$ { \mathbf{m}_j } $$ 的姿态, 只需明确指定使得固定欧几里得标架 $$ { \mathbf{e}_j } $$ 与 $$ { \mathbf{m}j } $$ 重合的旋转 $$ A $$ 即可. 这种旋转用姿态矩阵 $$ [A] = [a{ij}] $$ 来描述, 其中的元素是位置的函数, 因为整个思想就是 $$ \mathbf{m} $$ 标架的姿态在空间中是变化的. 因此, 如果我们记- $$ [\mathbf{e}] ≡ \begin{bmatrix} \mathbf{e}_1 \ \mathbf{e}_2 \ \mathbf{e}_3 \end{bmatrix} $$,
- 则 $$ [\mathbf{m}] = [A] [\mathbf{e}] $$.
- 根据矩阵转置的几何解释, 旋转矩阵必须满足
- $$ [A]^T = [A]^{-1} $$.
- 回想一下, 在线性代数中, 称这样的矩阵是正交的.
-
可以直观地看出, $$ [A] $$ 的变化率决定了 $$ m $$ 标架的变化率, 因此必然决定了联络 1 形式. 为了推导出一个显式公式, 让我们首先承认一个矩阵的外导数是其元素外导数的矩阵:
- $$ d[A] = d[a_{ij}] = [d a_{ij}] $$.
- 联络 1 形式的矩阵可表示为
- $$ [ω] = (d[A]) [A]^T $$.
- 因为 $$ [a_{ij}]^T = [a_{ji}] $$, 所以矩阵方程的分量方程为
- $$ ω_{ij} = \sum_k (d a_{ik}) a_{jk} $$.